ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1 88 3, N:0 10. 23 



Denna enkla anmärkning är tillräcklig för att bestämma 

 konvergensområdet. I sjelfva verket måste ju, om blott ^ är 

 tillräckligt litet, 7^ vara det minsta värde af den beskaffenhet att 

 det finnes ett 7/ med detta absoluta belopp, som gör 



Sätta vi i denna likhet y = a + ßi, så öfvergår den till 



r- ^ (3« - 7)^ + { 3ßf 

 - {tt — 2)^ + ß- 



eller 



(9 — ^2) («2 + ^2) _ 2(21 _ 2|2)« + 49 — 4|2 = o, 



hvilket, om a och ß betraktas som rätvinkliga koordinater, är 

 eqvationen för en cirkel. Värdet på 7] eller det minsta af- 

 ståndet från origo till cirkelns periferi är alltså 



21 — 2P I — 1 1 



7] = 



9 



Detta värde, som således är rigtigt för tillräckligt små ^-värden, 

 måste tydligen fortfara att gälla, åtminstone så länge r] aftager, 



7 " o 



när § tillväxer, d. v. s. sa länge b < "o" ^^ §^^-> sa kan 



man skrifva 



7 + 2g ^ ^ 1 



hvaraf man ser, att serien säkert konvergerar, om |a;|<3, 

 |?/|^2, hvilket just är det resultat vi behöfva. 



Vi betrakta nu serieutvecklingen af en hel rationel funk- 

 tion af 



och 



1 + XI, 1 + (3 - x) (2 - y) 



dels efter hela positiva potenser af ^^' och ?/, dels efter hela po- 

 sitiva potonser af x — 3 och y — 2. Sätta vi i senare fallet 

 a; — S = a:' , y — 2 = ?/', så öfvergår den senare serien i ut- 

 vecklingen efter hela positiva potenser af x och y af samma 

 hela funktion af 



och 



1 + (3 + x) (2 + y') 1 + x'y' 



