24 PHRAGMÉN, KONVERGEN SOMU. HOS POTENSSER.AF TVÅ VARIABLER. 



hvilken utveckling tydligen har samma konvergensområde som 

 den första. 



Vid den geometriska framställningen af den tvådiraensionala 

 rymden {u,v) kommer således den ena seriens konvergensområde 

 att begränsas af hyperbeln itv =^ \ , den andras af hyperbeln 

 (3 — ^() (2 — v) = 1 , alldeles som i vårt första exempel. 



Jag öfvergår nu till att bevisa en egenskap hos potens- 

 seriers konvergensområden, som jag redan i det föregående an- 

 tydt. Den egenskap jag ville bevisa kan uttryckas så: 



Om (a, b) och (a, 6) (| a'| > | a |) äro två ställen på gränsen 

 af konvergensområdet, så ligger äfven hvarje ställe (a;, b), för 

 hvilket I ä; I < I a I på gränsen af samma område. 



För att bevisa detta ersätter jag koefficienterna med deras 

 absoluta belopp och skrifver sedan potensserien under formen 





fn(^)r- 



Gifva vi här efter hvartannat åt x de reella värdena aw', x' , 



ßx\ der 



a<l <ß 



och 



I a I < ax' , ßx' < I a' I , 



så måste de tre potensserier i ?/, som vi så erhålla, alla ha 

 samma konvergensradie \b\. Enligt en sats af Cauchy är detta 

 detsamma som att för hvart och ett af dessa ^-'-värden det 

 största af gränsvärdena för 



är lika med 1-^7 . 



o 



Mfn{x), ^i= 1,2,3, 



Låt oss nu ur talserien 1,2,3,... välja ut en följd af tal 

 n^ , n^ ,n^.. . 



sådan att 



yfn{ax') för n = ii^ , n,,,n^. 



endast har det enda gi'änsvärdet ——. 



I 6 I 



Lat i serien 



fn{x') 



