122 PHRAGMÉN, EN NY SATS INOM TEORIEN FÖR PUNKTMÄNGDER. 



Jag skall nu visa, att om efter iitedutandet från planet af 

 en 'punktmängd, som innehåller sina gränspunkter, de återstå- 

 ende punkterna bilda flera skilda stycken, så kan man angifva 

 en viss del af den uteslutna punktmängden som är samman- 

 hängande. 



Al' någon del af den uteslutna punktmängden ett kontinuum 

 efter Weierstrass' definition, så är ju denna del sammanhän- 

 gande, och jag kan således i det följande förutsätta, att ingen 

 del af den uteslutna punktmängden utgör ett sådant kontinuum. 



Jag betraktar först ett specielt fall, i det jag antager, att 

 då man från planet utesluter en viss punktmängd af ofvan 

 nämda beskaffenhet, de återstående punkterna bilda flera skilda 

 kontinuerliga stycken, som kunna sammanföras ^ i två grupper 

 A och B, så att hvarje grupp bildar en sammanhängande punkt- 

 mängd. Sammanfattningen (P) af alla de punkter, som ligga 

 på gränsen af såväl A som B — d. v. s. e)i viss del af den 

 uteslutna punktmängden — utgör då en sammanhängande p)unkt- 

 'inängd. 



Ty vore detta icke fallet, så kunde man finna två punkter 

 af P och en positiv storhet a sådana att det vore omöjligt att 

 komma från den ena till den andra af dessa punkter genom en 

 rad af punkter, alla tillhörande P och sådana, att hvarje efter- 

 följande låge på ett afstånd från den närmast föregående, som 

 .vore mindre än g- 



Jag definierar nu en ny punktmängd Q på följande sätt. 

 Greuom linier parallela med den reella och den imaginära rigt- 



G 



ningen delar jag planet i qvadrater med sidor mindre än — — . 



Hvarje sådan qvadrat (gränsen medräknad) tillhör eller tillhör 

 icke min punktmängd Q, allt efter som den innehåller (inom sig 

 eller på gränsen) eller icke innehåller någon punkt tillhörande 

 P. Hvarje punkt i planet upptages dock blott en gång i Q 

 och de punkter som komma att ligga på gränsen af Q uteslutas. 

 Vår så definierade punktmängd Q måste då vara ett af 

 åtminstone två skilda stycken bestående kontinuum och begräns- 



