124 PHRAGMÉN, EN NY SATS IXOM TKORIKN FÖR PUNKTMÄNGDEK. 



iiiängdeii A icke vore sammanhängande, hvilket strider mot för- 

 utsättningen. 



Det är nu lätt att till detta speciella fall återföra det all- 

 männa fallet. Om nemligen de återstående punkterna bilda 

 ilera skilda stycken, så måste sammanfattningen af alla punk- 

 ter, som ligga utom ett visst sådant stycke (C) utgöra ett af 

 ett eller flera stycken bestående kontinuum. Som dessa styc- 

 ken, om de icke finnas blott till ändligt antal, i alla händelser 

 utgöra en värdemängd af endast första mägtigheten, så inser 

 man omedelbart, att de kunna ordnas i grupper (D, D^, Do . .) 

 på så sätt, att hvarje grupp utgör en sammanhängande punkt- 

 mängd och att två gruppers begränsningar icke ha någon punkt 

 gemensam. Sammanfattningen (E) af alla punkter i planet, 

 som ligga utom en sådan grupp (D), måste utgöra ett af ett 

 enda stycke bestående kontinuum. Hvarje punkt inom en viss 

 grupp //,. är nemligen kontinuerligt förbunden med hvarje punkt 

 inom C, ty hvarje punkt på gränsen af D,, ligger på gränsen af 

 C och utom I). 



Den gemensamma begränsningen till I) och E, h vilken ju 

 är en del af den uteslutna punktmängden, måste således på 

 grund af vårt förut bevisade speciella fall vara en samman- 

 hängande punktmängd. 



Af antagandet att efter uteslutandet från planet af en 

 punktmängd som innehåller sina gränspunkter de återstående 

 punkterna bilda Üera skilda kontinuerliga stycken följer således, 

 att en viss bestämbar del af den uteslutna punktmännden måste 

 vara sammanhängande. 



Men häraf är ju klart, att om ingen del af den uteslutna 

 punktmängden är sammanhängande, så måste de återstående 

 punkterna konstituera ett enda kontinuerligt stycke. Hvilket 

 just är den sats, som Ni önskade få bevisad. — — 



Stockholm, 1684. KonijL Boktryckeriet. 



