126 MELLIN, EN GRUPP AF TRANSCENDENTA FUNKTIONER. 



bevisas om ofvan stående qvot. Man kommer derjemte i besitt- 

 ning af en hel klass af transcendenta funktioner, som äro på det. 

 närmaste beslägtade med gammafunktiouen. 



Gamraafunktionen är emellertid icke den enda funktion, 

 hvilken kan behandlas enligt den i fråga varande metoden och 

 ur hvilken man då kommer till nya, med funktionen beslägtade 

 transcendenter. utgångspunkten för efterföljande undersökningar 

 utgöres af den beständigt konvergerande oändliga produkten 



00 



n (1 + r^) , 1^1 < 1 , 



)( = o 



hvars reciproka värde kan behandlas i fullkomlig öfverensstäm- 

 melse med hvad som skett för gammafunktionen. 

 Sättes 



cp{x) = 



n(i + r^) 



ra = o 



så är 9 "(^) en funktion af rationel karakter, hvilken icke har 

 andra oändlighetsställen än 



1 1 



X =^ — 1 , 



q- q^- 



i hvilka funktionen blir oändligt stor af ordningen v. Användes 

 för enkelhetens skull beteckningen 



1 



a = —, 



så kan (p^'{x) i stöd af det MiTTAG-LEFFLER'ska teoremet 

 sättas under den allmänna formen 



00 



y%r)== v (z-^-Ni^ + z ^''H' 1 + • • • +^^+^C^')) + Q(^> 

 ^ ^ -> / j \(x+ a'^y (.« + a")''-i x + a" ^« 7 ^^ ^ 



n = O 



= P{x) + Qix) , 



der Q(x) är en beständigt konvergerande potensserie samt g^ix), 

 gy{x),... hela rationela funktioner, hvilka samtliga få sättas 



