ÖFVEllSIGl' AF K. VETENSIC.-AKAD. FÖRHANDLINGAH 1884, N:0 5. 127 



lika med noll, om den serie P(.^•), som sålunda erliålles, är lik- 

 formigt konvergent. Vår första uppgift blir nu att söka upp- 

 täcka en bildningslag för konstanterna A. Först sedan detta 

 lyckats oss äro vi i en verklig besittning af partialbråksserien 

 P(x), och derefter kan det blifva fråga om att också stu- 

 dera den beständigt konvergerande potensserien Q(a;). Vid upp- 

 sökandet af en bildningslag for konstanterna A låta vi leda oss 

 af den tanken, att funktionen (p(x) möjligen kan behandlas på 

 samma sätt som gammafunktionen. Sättes 



der P,,(x) betecknar partialbråksserien och Q,,{a) den additiva 

 potensserien, så besitta dessa funktioner de resp. egenskaperna 



r'(w + 1) = .^•'T"(^^0 



Q„(.v+ \) = .t"Q„(x) + P„Gr), 



der Pj.O?") är en viss hel rationel funktion af graden v — 1 . Det 

 analytiska uttrycket för fi(a;) utvisar omedelbart, att cp{x) be- 

 sitter egenskapen 



. ^-(^.r) = (l + xycp"{x). 



Sammanställas dessa likheter, så ligger det mycket nära till 

 hands att antaga, att partialbråksserien för cp' (^v) besitter egen- 

 skapen 



F(gx) = (1 + wyP(w) - R{x) , 



och följaktligen den additiva potensserien egenskapen 



Q{qx) = (1 + xyQ{x) + R{x) , 



der R{x) betecknar en hel rationel funktion. 



På grund af allt detta ställa vi oss frågan: är det för 

 hvarje positivt helt tal v öfverhufvud möjligt att uti en partial- 

 bråksserie af formen 



00 



S(x) = > 7 r, + ; / , + . . . + + gnU' 



^ ^ / Mx + a-^y {x + a»)'— 1 x + a" ^ ^ '} 



