128 MELLIX, EN GRUPP AF TRANSCEXDENTA FUNKTIONER. 



bestämma konstanterna A samt de hela rationela funktionerna 

 cf på ett sådant sätt, att S{a;) blir en likformigt konvergerande 

 serie samt differensen 



(1) s{^^]-il+a^yS(a^) 



en funktion af hel karakter? 



Under förutsättning att S(^) konvergerar likformigt, är dif- 

 ferensen (1) en funktion af hel karakter alltid och endast ifall 

 densamma for omgifningen af hvart och ett af ställena 



ä; = — 1, — a, — a^,.... 



kan utvecklas i en potensserie, som fortskrider efter hela och 

 positiva potenser af resp. 



' ■» + ] , w + a, a + a^ , . . . . 



För omgifningen af stället x = — 1 kan differensen (1) under 

 den nämnda förutsättningen tydligen utvecklas i en konverge- 

 rande potensserie, som blott innehåller positiva potenser af ä! + 1. 

 För omgifningen af stället w — — a" är 



^^ ^ (x + a»)' {x + a»)' -1 X + a" ^^ ^ 



der G och G^ äro potensserier, som fortskrida efter hela och 

 positiva potenser af x + a'*. Nödvändiga vilkor för att diffe- 

 rensen (1) skall vara en funktion af hel karakter äro således, 

 att hvar och en af differenserna 



:t> + --- + -^— -(1 + ^r L^ ,U. +•••+- ' 



(x + a»)" ■ " X + a'' ^ \(x + a")" ' ' ' ä- + a"/ 



71=1,2,3,.... 



skall kunna utvecklas efter hela och positiva potenser af resp. 



X + a, X + a-, X + a^, . . . . 



