ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKA I). FÖRHANDLINGAR 1 884, N:0 5. 12i> 



Använder nian nu likheten 



(1 + a^y = (1 — a")" + • • • + (O ( 1 — «")''-H-'' + «")-^ + • • • + (•'■ + «'■) 



och verkställer utvecklingen samt sätter koefticienterna för de 

 negativa potenserna af x + a^ lika med noll, så erhåller man 

 likheterna 



^;;'-V = (i — a»)"^;,"^ 



n--. 1,2,3,... 



Under förutsättning, att &{x) konvergerar likformigt, ut- 

 trycka dessa likheter icke blott de nödvändiga utan också de 

 tillräckliga vilkoren för att differensen (1) skall vara en funk- 

 tion af hel karakter. 



Genom föregående relnirsionsformler är en hvar af kon- 

 stanterna A entydigt bestämd så snart konstanterna 



^(0) ..0) .(0) 



Uti första termen af >S(,r) blifvit faststälda. 



Betänker man nu, att man alltid, huru också dessa kon- 

 stanter må fastställas, sedan ät de öfriga tilldelats de entydigt 

 bestämda värden som erhållas ur likheterna (2), derefter på 

 mångfaldiga sätt kan framställa en sådan följd af hela ratio- 

 nela funktioner 



^oO^')' i/iG^). 9Å^)^ ' 



att serien <S(^) blir en likformigt konvergerande serie, så inser 

 man att det existerar till och med ett oändligt antal funktioner 

 af formen S{x), hvilka besitta den egenskap, hvarom fråga varit. 

 Betraktar man närmare rekursionsforralerna (2), så finner 

 man att allmänt 



Öfversigt af K. Vet.-Akad. Förh. Arg. 41. N'.-o 5. " 



(n) 



