130 MELLIN, EN GRUPP AF TRANSCEXDENTA FUNKTIONER. 



kan uttryckas såsom en homogen och linear funktion af 



AiO) J(0) .(0) 



i hvilken koefficienterna äro tal, som endast bero af talen 

 a, n, v, s. Om man således åt samtliga konstanter A i första 

 termen af S(.v) tilldelar värdet noll, så blifva också samt- 

 liga konstanter A uti alla följande termer noll, och S{.v) 

 upphör då att vara en verklig partialbråksserie. Ar A^j^'> , 

 Af]_^, . . . , yl[ ett godtyckligt annat värdesystem, deri samt- 

 liga storheter icke äro lika med noll, så kan det icke uti någon 

 term af S(a;) inträffa, att alla konstanterna A vore lika med 

 noll. Ty låt oss antaga, att n är ordningstalet för den första 

 term, hvari detta "kunde vara fallet. Rekursionsformlerna (2) 

 utvisa då, att också samtliga konstanter A .uti alla följande 

 termer af S{x) måste vara noll. Då nu således S(a;) skulle 

 vara en serie med ett ändligt antal oändlighetsställen, så vore 

 jj = — a" ett oändlighetsställe for differensen (2), hvilken derför 

 icke kunde vara en funktion af hel karakter. Härmed är riktig- 

 heten af vårt påstående bevisadt. 



Vi använda i det följande beteckningen 



^ + 1=2 + . . . + ■-— 



{w + a")" (.v + a")''-'^ X + a") 



(3) Ä(,r) =^17;:^^^ + ^.^~{.-. + • • • + 



och skola nu bevisa att denna serie är likformigt konvergent, 

 huru också konstanterna 



m-å fixeras, om blott de öfriga beräknas enligt rekursionsform- 

 lerna (2). 



Låt oss fastställa ett positivt helt m tal så stort, att hvai' 

 och en af qvantiteterna 



(;)(! - a")-^ . . . , C) (1 -«")-%•• • . C.:0(i -«")-("-^> 



