132 MELLIN, KN GIUIIM' AF IRANSCENDENTA FUNKTIONER. 



att serien aS(a') är en icke blott likformigt utan också en i den 

 mening absolut konvergerande serie, att 



00 



z 



A 



(»O 



|(.r"+ a"y 



: + 



I (»O 



{.v + «")'—! 



+ 



. + 



((«) 



.r + a" 

 1 , — rt , — a~, ... 



har ett ändligt värde sä snart ,v icke är 

 Uti likheten 



S\^-^ = (l + .r)VS(.r) + R{.v) 



har iv(.7') hittills blott varit underkastadt vilkoret att vara en 

 funktion af hel karakter. Om S(.v) är en serie af formen (3), 

 i livilken konstanterna A äro bestämda genom rekursionsform- 

 lerna (2), så reducerar sig H{,t) till en hel rationel funktion, 

 hvars gradtal icke öfverstigcr tnlet v — 1. Tv om man uti 



ij(..) = __£[o + ^.y{^ 



i(") 



T. + 



+ 



.v + a" 



A 



{n — T,) v 



a 



A?'\ 



rn\" + 



+ 



\(.v + a")" ' ' .v + a' 



-^;:"-4-.(i +•'■)- 



|(0) 



A';'>(\ + w)"-^ 



sätter 



(1 + ,vy = (1 -a")'' +...+ Q{l—a"y--^(.v + a"y + ... + (.r + a")' 



och föreställer sig att man under sunimationstccknet utvecklar 

 första delen af den term, hvars ordningstal är //, efter potenser 

 af ,r + a", så inser man att den högsta positiva potens af 

 ,v + a" ., hvilken öfverhufvud kan ujtpträda, erhålles genom att 



multiplicera (./• + (/")'' med . lOmedan de negativa po- 



xenserna ujiphäfvas af de negativa i den andra delen af termen, 

 så antaner denna utseendet 



ni") 



B';' + Z>7'(.i' + a") + ... + B]':>_^{.v + a'')"-i 



