fiKVKKSKJT AI'' K. VICTICNSK.-A K A I). I'ÖU II A M)|,IN()A R 1 HH4, N:0 5. I .'{.'i 



Utvecklas detta uttryck oftor li(.'l;i, ncli positiva jiotciiscr af 

 ./;, så antager R{x) utseoudet 



CO 



7«!(.r) - V «'^ + d;".': + . . . + (:f;l,.r/-^) . 



II. II 



Emedan denna serie är likfonnigt konvergent, så får man ordna 

 densamma efter pDtenscr af x och erhåller derigenom ett re- 

 sultat af formen 



ll{x) -=«„ + «,« + ... + (/.„-vV""^, 



der cf„, «,,..., cc,,_i äro af x oberoende stoi'heter. 



Resultatet af de fiiregående betraktelserna kunna nu sam- 

 manfattas i fö]jand(i satser: 



Om 'man uti an partialbråksserie af formen 



fastställe'/' godtycidifja värden på konstanterna i första termen, 

 men deremot åt de öfriga tilldelar de entyd/kjt bestämda värden, 

 som erhållas ur rekursionsformlerna (2), så har man städse uti 

 S(x) en likformigt och, ahsohi.t konvergerande serie, hvilken be- 

 sitter egenskapen 



,s|^j = (i + xysix) + 7i(x). 



der R{x) är eti hel rationel funktion, hvars gradtal möjligen 

 kan understiga men aldrig öf verstiga talet v — 1 . 



Rekursionsformlerna (2) uttryeka emellertid, icke blott de 

 tillräckliga utan också de nödvändiga vilkoren för att serien 

 ■ skall satisßera en likhet af of van stående form. 



Det existerar således icke någon partialbråksserie af formten 

 S{x), hvilken förmår satisßera den i fråga varande likheten., då, 

 U(x) betyder en hel transeendent eller en hel rationel funktion, 

 hvars gradtal öf ver stiger talet v — 1 . 



