134 MELLIN, EN GRUPP AF TRANSCENDENTA FUNKTIONER. 



Uti den hela rationela funktionen R{x) är den konstanta 

 termen lika med noll. 



Ty om man uti likheten 

 (4) Siqcc) = (1 + xyS{a^) + Ä(.r), q^\, 



sätter ^ = O, så fås -ß(O) = 0. 



Hvarje partialbråksserie af formen (3), livilken besitter 

 egenskapen (4), antager ett ändligt värde för x = O och kan 

 för omgifningen af detta ställe utvecklas i en potensserie, hvilken 

 konvergerar så snart |.2;|<1. Vårt första steg blir nu att 

 också bevisa den omvända satsen, att hvarje 'potensserie, hvilken 

 konvergerar för en viss omgifning af stället a: = O och satis- 

 fierar en likhet af formen (4), hvari R{^x) betecknar en hel ra- 

 tionel funktion, uti hvilken den konstanta termen är lika med 

 noll och gradtalet icke större än v — 1, är ett element af en 

 entydig analytisk funktion, som kan återgif vas genom en partial- 

 bråksserie formen (3). Till en fullständig diskussion af lik- 

 heten (4) för det fall, att R{x) är en hel rationel funktion med 

 nyss nämnda egenskaper, hör dessutom att vi också bevisa föl- 

 jande sats. Hvarje hel rationel funktion Ii(a;) ^), uti hvilken den 

 konstanta termen är lika med noll och gradtalet icke större än 

 v — 1 , motsvaras af en och blott af en enda potensserie, som 

 konvergerar så snart \x\ < 1, antager värdet a^ för x ^= O och 

 satisfierar likheten (4). 



Låt 



\{x+'a-y ■*" (x +V)'-i + • • • + :rr^/ 



?i = o 



A-l,2,...,r' 



vara v partialbråksserier, af hvilka en hvar satisfierar sin sär- 

 skilda likhet af formen (4), och sätt 



') Det fall icke uteslutet, att R{x) är identiskt lika med uoll. 



