136 MELLIN, EN GRUPP AF TUAXSCEXDENTA FUNKTIONER. 



f{x) = P1Ä.G7;) + p.,S.,{x) + . . . + p,SX^) 



= &Q + hyX + h.jX- + , 



uti hvilken 



^1 = ^hxPi + %l/^2 + • • • + «rip„ 



så satisfierar densamma en likhet af formen (4), och följaktligen 

 är hji för n> v — 1 en homogen och linear funktion af h^, by, 

 ...,b,._i. Emedan det på grund af antagandet |_y| > O icke 

 är möjligt att bestämma konstanterna p så, att_/'(A') blefve iden- 

 tiskt lika med noll utan att samtliga p behöfde sättas lika med 

 noll, så kan tydligen determinanten till likhetssystemet 



icke heller vara noll. Det finnes således ett och blott ett enda 

 värdesystem pj,p2? ••• 5^,5 för hvilket detta system af likheter 

 eger bestånd, för hvilket, med andra ord sagdt, potensserien 

 S(x) är identisk med den potensserie, i hvilken f{x) för omgif- 

 ningen af stället x = O kan utvecklas. Härmed är den förra 

 af de nyss uttalade satserna bevisad. 



Sanningen af den senare satsen framgår lätt om man an- 

 vänder betraktelser, liknande de föregående. Vi skola emeller- 

 tid härleda densamma genom att direkt utgå ifrån likheten (4), 

 emedan vi då erhålla ett nytt analytiskt uttryck för de funk- 

 tioner, som karakteriseras af denna likhet. 



■ Genom att upprepade gånger använda likheten i fråga 

 erhålle.s 



■ c/,^ 'S(r-^) / -^(^) , 



^'^''^ (1 + x)"(} + qx)" . . . (1 + q"^~\vy \(l + x)" "^ 



R{qx) R{q"'-^x) \ 1 



"t" . . . ~r 



(1 + x)"(l + qx)" ••• " (1 +xy...(l + q^'^-Kv)"!' 



Emedan |(/| < 1 så närmar sig täljaren uti förra delen af högra 

 membrum med växande m obegränsadt den konstanta termen 



