ÖFVERSIGT AF K. VETIiNSK.-AKAD. KÖKIIAN1)IJN(; AR 1 8 84, N:ü 5. \'M 



(«y uti potensserieii «S(,i'). Emedan äter näninaren liar till grilns- 

 värdft qvantiteten <p'''{<r), sä följer, att en fnnktion med de egen- 

 skaper som tildelats <S'(^') måste kunna framställas under formen 



00 



(6) ,6» = a,cp\.) -2^(11. ,)"(! +,^.,)^Trr(TT?^ • 



n = o 



Emedan den konstanta termen i R{x) är lika med noll, så inser 

 man lätt att den oändliga serien i högra membrum är absolut 

 och likformigt konvergent. Ur bildningslagen för dess termer och 

 ur det analytiska uttrycket för (f"{x) framgår vidare, att högra 

 membrum framställer en funktion, hvilken verkligen är i besitt- 

 ning af de postulerade egenskaperna hos S[x), att för omgif- 

 ningen af stället x = O kunna utvecklas i en potensserie, hvilken 

 antager värdet a^, för x = Q och satisfierar likheten (4). 



Oaktadt vi ännu icke bestämt oändlighetspunkternas kon- 

 stanter i partialbråksserien P{x) för cf"(Ai), så inträffar dock 

 här det märkliga, att vi endast i stöd af de resultat, hvartill 

 vi redan kommit, kunna bevisa icke blott, att den i fråga va- 

 rande partialbråksserien satisfierar likheten (4), utan ock att 

 den additiva potensserien Q(x) är identiskt lika med noll. 



Ty låt såsom nyss Si{x), S2(x), . . . , S,.{x) betyda ett system 

 af j' partialbråksserier af formen (3), för hvilket determinanten 

 J icke är noll. Emedan q'\x) satisfierar en likhet af formen 

 (4) samt för omgifningen af stället .« = O kan utvecklas i en 

 potensserie, så är det i stöd af de betraktelser, som anstäldes 

 under beviset för den förra af de senaste satserna, alltid och blott 

 på ett sätt möjligt att bestämma konstanterna^jj,p27 ••• jP,/ så att 



cp'\x) ^2:>^S^{x) + jy^ß.Jx) + . . . + p,S„(.i'). 



Men uti denna likhet kan högra membrum bringas under formen 



\(x + a")" (x + a")''-i ■ ■ ■ X + a"" 



hvarur riktigheten af vårt påstående framgår. 



