140 MELLIN, EN GRUPP AF TRANSCENDENTA FUNKTIONER. 



Hvarje funktion il.>{t), hvilken satisfierar likheten 



(13) t-DtW^t . . . D,tD,xp{t) = aipyt'^) , 



i hvars venstra membrum förekomma v stycken differentiations- 

 tecken, motsvaras af en partial bråksserie af formen (3), hvilken 

 satisfierar likheten (4): 



S{qx) = (1 + .x)"S{cv) + R{x), 



och för hvilken likheten 



(14) S{x) - fip(t)t-^-dt 



o 



eger rum; och omvändt motsvaras också hvarje sådan partial- 

 bråksserie af en funktion yj[t), hvilken satisfierar likheten (13), 

 och för hvilken likheten (14) eger rum. 



De funktioner, af hvilka vi uti afhandlingen »Om en uy 

 klass af transcendenta funktioner, hvilka äro nära besiägtade 

 med gammafunktionen I» studerat blott en speciel grupp, be- 

 sitta egenskapen att vid den lineära Substitutionen 



(.1', .v +1) 



ändra sitt värde sålunda att 



S{.v + 1) =r{x)S(x) + R{x), 



der i'^x) och i?(.f) beteckna rationela funktioner. 



Uti föreliggande uppsats ha vi dels uppvisat dels antydt 

 tillvaron af funktioner, hvilka vid den lineära Substitutionen 



(a-, qx) 



ändra sitt värde på ett liknande sätt, d. v. s. sålunda att 



S{qx) =r.r{x)S{x) + R{x). 



Utgångspunkten för undersökningarne utgjordes i hvartdera fallet 

 af frågan huruvida man uti en partialbråksserie, hvars oändlig- 

 hetsställen voro på förhand angifna, kunde bestämma oändlig- 

 hetsställenas konstanter på ett sådant sätt, att serien komme 

 att besitta den önskade egenskapen. Man kan emellertid åt 



