150 STENBERG, LINEÄRA OCH HOMOGENA DIFFERENTIALEaVATIONER. 



Formeln (5) saramanstäld med föregående sats berättigar 

 detta uttalande. 



Om differentialeqvationen (1) af ordningen n endast har 

 regulära integraler, så är detta fallet äfven med differential- 

 likheten (4), och är nu 



Fai7-) = O 



de7i förras, och 



den senares fundamentallikhet i afseende å det singulära stället 

 X = a, så öfvergår Fa{r) -- O uti 0u{s) = O vid suhstitutionen 

 r == n — s — 1 , d. v. s. mot hvarje rot r till Fu{r) = O svarar 

 en rot s = n — r — 1 till (Da{s) — 0. 

 Låt nemligen 



fM = 1 " 



/„(^) = ^(^ _ 1 ) (^. _ 2) . . . (^ — ^1 + 1 ) (.^ = 1,2,3...) 



och 



Lim . {x — «)'-' Py = 2),j Lim . {x — a)" Q,, = q,^ 



X = a X = u 



så är 



fA, = 11 — 1 It = n — 1 



Fa{r) - / ^f^,(r)pn-a + fn{r) ', ®„(s) = \^/«(s)^„ _^, + /«(s) , 

 ^t = O /t = o 



men enligt formeln (5) är 



(/ =n — 1 



_. V / .y ^ Jo-Ån— ^i — !)/»((>) 



•J = /(- 



hvaraf 



() = n — 1 /ti = () 



«,„(,) = (_ iy^p._,^(- i)... /.W/-(e)/--<.("-."-') ^ 



() = O /I = o 



+ fn(s) = {-iyF4n-s — l) 

 emedan 

 fl, = (I 

 y (_ iyMs)f,(i>)fo-Ån - H 3i) ^^^(^^ __ ^ _ ^^ 



^ = o 



