156 SJÖBLOM, LIN. DIFF.-EQVATIONER MED DUBBELPERIOD. KOEFF. 



F{u) = xjiii) + . . . + x„^f(u + 2(m — 1)10) 



har egenskapen 



F{u + 2w) = uF{u). 



En entydig integral f{n) till P{y) = O besitter egenskapen 

 (a). Man kan derför bilda F(u)^ som också är en integral till 

 P{y) = O, och till följd deraf besitter egenskapen 



F{u + 2mio) = hyF{u) + + h,nF{u + 2(m — l)w'). 



På grund af denna relation är det alltid möjligt att bilda 

 en funktion 



\lj{u) =: z^F(;a) .... + ZraF{u + 2(??z — l)w) 



sådanj att 



!//(?/. + 2w') = v\p{u). 



Denna har också egenskapen 



\p{u + 2w) = fJ-ip{u). 



Tillika är den entydig och satisfierar P{y) = 0. 



I det följande skall visas, hurusom man på ett sätt full- 

 komligt analogt med det, hvarpå professor Mittag-Leffler 

 bevisar sin sats, också kan bevisa nedanstående allmännare sats: 



Om en lineer homogen differentialeqvation af m:te ord- 

 ningen 



P{y) = y^"^ + p,y'"-^^ + ....+ p^^y = O, 



Jiva7's koefficienter äro duhbelperiodiska funktioner med samma 

 perioder 2cü och 2w', har n af hvarandra lineert oberoende en- 

 tydiga integraler, så har den alltid också n af hvarandi'a lineert 

 oberoende integraler y^=(p.(u), hvilka, utom att de äro en- 

 tydiga, också hafva följande egenskap 



(p {u + 2co) = (.1 (f (ti) 



w (w + 2w) ~ a cp (u) + u^-''cp (u) 



w (u + 2w) = ^i cf [u) + ^/"^^ w , X") + • • • + (f^^/V ,(^') 



