166 SJÖBLOM, LIN. DIFF.-EQVATIONEK MED DUBBELPERIOD. KOEFF. 



som, Utom att den är lineert oberoende af q>^ .{u) . . . (p («), 



också är sådan, att antingen 



F(u + 2w') = i'F{n) 



(''' < ''s, \ • ■ ■ \) 

 eller 



F{u + 2co') = r^^F{ii) + y ^^;.y,;.00. 



1 ' - 



der o betecknar ett af värdena s^ . . . .s^. 



Emedan F{u) har egenskapen 



F(u + 2w) = Us,F(u) + \ / f\.x^s/''')^ 



1 ''■ 



måste den på grund af sats 2 också vara lineert oberoende af 

 samtliga (p^^i^u)- 



1. Antag, att F{;u) bar egenskapen 



F{u + 2co) = vFi^u) 



('■'' ^ Vs, Vs, . . . l',J. 



Vi bilda då åter på det sätt professor Mittag-Leffler 

 angifvit en entydig integral 



(^(u) ^ x^F{u) + . . . + XmF{u + 2w) 



' = z,F{^i) + ^^'^%.^-^<^-^''^ ' 

 1 

 som atom egenskapen 



Cf(ll -r 2io) = v'rf{u) 

 också har egenskapen 



(f{u + 2co) — u (f{u). 



Konstanten z^ är olika noll, emedan cp{u) på grund af sats 

 2 är lineert oberoende af (f^ ^{u) ■ ■ ■ (f^ ;(^)' ^lå v < Vs, • ■ ■ i^^. 

 Då nu F{it) är lineert oberoende af samtliga (^^^(/<), måste derför 

 också (p{ti) vara det. 



Också i detta fall saller således satsen för n = ?• + 1. 



