200 PHRAGMÉN, EN SATS UR DB ELLIPT. FUNKTIONERNAS TEORI. 



och KowALEVSKi, har jag dock erhållit kännedom om Weier- 

 strass' bevis. En väsentlig egenskap hos detta bevis är den 

 att det kan generaliseras till att omfatta äfven de AßEL'ska 

 funktionerna. Afstår man från denna generalisering t)ch in- 

 skränker man sig till att bevisa den här ofvan uttalade satsen, 

 så är det lätt att finna ett nytt bevis, enklare än det af Weier- 

 strass gifna. 



Vårt antagande här ofvan var, att den analytiska funktio- 

 nen ff(it) egde ett additionsteorem eller att cp(u), (p(v) och q)(u + v) 

 voro förbundna genom en algebraisk relation. Jag skall emeller- 

 tid här endast göra den förutsättningen, att det finnes tre element 



lßi(u\a), lß^(v\b), lß(ic + v\a + b)^) 



af funktionen cp, som äro förbundna genom en algebraisk eqvation 



G{l^^(u I a) , lß^(v I b) , ]f(u + v\a + b)) = 0. 



Man vet då, att samma eqvation fortbestår för hvarje sy- 

 stem af tre element som man kan erhålla genom fortsättning af 

 systemet ]J], JJoi V- ^^^ deraf hår man icke rätt att sluta att 

 man har 



G{(p(u), (p(v), cp(u + v)) =- O, 

 för hvilka tre funktionsvärden som helst som svara till argu- 

 mentvärdena u, v, u •{■ v. I sjelfva verket, om man låter ele- 

 mentet ]jj(z(|a) öfvergå i ett nytt element ^\(u\a) genom fort- 

 sättning längs en viss sluten väg och om man dervid lemnar 

 elementet ^^{^ I ^) oändradt, så öfvergår l^(u + v\a + b) \ all- 

 mänhet i ett nytt element ^'{u + v \ a + b), så att man alltså 

 icke direkt ser, huruvida det nya elementet ^\{it\a) satisfierar 

 relationen 



(^(jr;(M|a), V.(v\b), ^{u + ü\a + b)) = O 

 eller icke. 



I det följande kommer jag först och främst att visa, att, 

 under mitt ofvan preciserade antagande af en algebraisk rela- 

 tion mellan tre element, funktionen q{rt) har karakteren af en 

 algebraisk funktion inom hvarje ändligt område. 



') lP(M|o) = en vanlig potensserie af [u — a). 



