ÖFVERSIGT AF K. VETRNSK.-AKAI). FÖIUIANDLINGAR 1884, N:0 9. 201 



Dermed att en funktion, definierad af en viss potensserie, 

 har karakteren af en algebraisk funktion inom ett gifvet område 

 menar jag då, att alla värden, som man kan erhålla genom att 

 fortsätta denna potensserie längs vägar som ligga helt och hållet 

 inom det gifna området, satisfiera en eqvation af formen 



zn + /;2"-l + /22"-2 + ....+ y^^ = O , 



der /i,/2 • • ./,( hafva rationel funktions karakter inom det gifna 

 området. 



Derefter skall jag visa, att man verkligen har relationen 



mellan tre hvilka som helst af de till argumentvärdena u,v^ u + v 

 hörande funktionsvärdena. 



Dermed har jag också bevisat, att cp{u) i hvarje punkt en- 

 dast kan ha ett ändligt antal värden, och med användande deraf 

 är det lätt att visa, att (f{u) antingen är en algebraisk funktion 

 eller också en periodisk funktion. Sedan möter det ingen svå- 

 righet att fullborda beviset. 



Låt oss alltså antaga att relationen 



består mellan tre element JTj , J^o ' P ^^ funktionen tp . 



Om man betraktar ett af dessa element, t. ex. ^^{u\a\ så 

 ser man att man kan finna en positiv storhet r^ , sådan att den 

 af detta element definierade funktionen har karakteren af en al- 

 gebraisk funktion för området 



\u — a I < ■?'! . 



Detta eger ju rum åtminstone om man väljer r^ mindre än 

 potensseriens ^i{u\a) konvergensradie. Det motsvarande gäller 

 om elementen poC^l^ji ]?(** + v\a + b). 



Man ser dessutom att de öfre gränserna för storheterna 

 ry^r.^^r äro samtidigt ändliga eller oändliga. Ty är en af dem 

 oändlig, så vill detta säga, att (p{u) har karakteren af en alge- 

 braisk funktion inom hvarje ändligt område, och då måste äfven 

 de båda öfriga vara oändliga. 



