204 PHRAGMÉN, EN SATS UR DE ELLIPT. FUNKTIONERNAS TEORI. 



l:o en väg ad, 2:o ett antal »slingor»^), förenande punkten d 

 med singulära punkter inom det mindre området, och 3:o vägen 

 da. Man kan till och med välja dessa slingor så att de mot- 

 svarande slingor som genomlöpas af punkten ii + b' äro sam- 

 mansatta af regulära vägar och af cirklar, som icke innesluta 

 någon singulär punkt. Om nian således fortsätter systemet 

 ^■y(u\a),^^{v\b), ]J(w + ü|a + 6), i det man låter u och v va- 

 riera på följande sätt: l:o u från a till d och v från h till 6', 

 2:o u från d till d längs slingorna, och 3:o u från d till a och 

 v från b' till 6, sä närmar man sig, om man utgår från ele- 

 mentet ]Jj(M|a), obegränsadt till värdet q)a, under det att man 

 återfår elementen PoC^'l^) ^^^'^ F(*^ + ^'k^ + ^)- 



Men härmed är det bevisadt, att hvarje regulärt eller sin- 

 gulärt element (f)(ii j a) af funktionen fp{u) i omgifningen af punk- 

 ten a nödvändigt satisfierar eqvationen 



G{cf{u I a) , ^2^'^\ ^) ■> P('* + v\a + b)) ^ O . 

 Och som samma resonnement kan göras för elementen }u och ]j 

 och dessutom punkterna a, b äro fullkomligt godtyckliga, så är 

 vårt påstående härigenom fullständigt rättfärdigadt. 

 Deraf att relationen 



G{(f(u),cp(v),qi(u + u)) = O 

 alltid består, följer omedelbart att funktionen (p(u) i hvarje punkt 

 endast kan ha ett ändligt ailtal värden 



(Pl(u), ^oOO' <jPnOO- 



Om nu ff>(u) icke är en algebraisk funktion af ii, så kunna 

 följande funktioner, som alla äro af rationel karakter, 



1 1 



+ + 



cpyU — a cp,iU — a 



1 1 



+ + 



1 



{(fyll — a)2 {(p^u — a)- 



') Med en slinga (Incet) förenande punkten a' med en sitigulär pnnkt «j för- 

 står jag eu regulär vag sammansatt af eu regulär väg från a till närheten 

 af a, en liten cirktl om « och den första vägen i motsatt riglning (se t. ex. 

 Briot et BouauET, Theorie des fonctions elliptiques). 



