ÖFVKRSIOT AK K. VHTENSK.-A K A I). l'üllll AN'UMNCiAK 1884, N:oD. 205 



1 1 



+ + 



der a betecknar eu godtyckligt vald storhet, icke alla vara ra- 

 tionela funktioner. Låt oss alltså antaga att för funktionen 



1 1 



+ + 



punkten ?/ = co är ett väsentligt singulärt ställe. Man vet då 

 att denna funktion för argumentvärden som absolut taget äro 

 större än en godtyckligt vald storliet, kan antaga värden som 

 äro absolut taget större än en annan godtyckligt vald storhet, 

 och således kan (p{u) för w-värden, hvilkas absoluta belopp är 

 större än en gifven storhet, antaga sådana värden att absoluta 

 beloppet af {rp{u) — a) är mindre än hvarje uppgifven storhet. 

 Men är detta sant, så kan man genom ett resonnement, som 

 användts af Weierstrass i hans föreläsningar och som jag här 

 vill i korthet återge, bevisa att (p{u) nödvändigt är en periodisk 

 funktion. 



Man ser i sjelfva verket först och främst, att i hvarje om- 

 gifning af en godtyckligt gifven punkt finnes alltid ett värde 

 som cp{u) återtar åtminstone ett uppgifvet antal gånger. Ty 

 låt oss anta att i en viss omgifning af a det finnes ett värde 

 b som cp(u) antar ett antal m gånger, i punkterna u^. . . .Um- 

 Då kan cp(u) anta hvarje värde i en tillräckligt liten omgifning 

 af b för argumentvärden i omgifningen af punkterna u^ , . . Um ■ 

 Men som (fiu) kan anta ett värde hur nära b som helst i en 

 punkt i omgifningen af m = oo , så ser man att man i hvarje 

 omgifning af b kan finna ett värde som (p{u) återfår åtminstone 

 (m + 1) gånger. I. omgifningen af hvarje värde a kan man så- 

 ledes finna ett annat värde b, som q){u) återtar åtminstone ett 

 uppgifvet antal gånger. 



Om nu eqvationen 



G(cp{u), rfi(v), cp{u 4 u)) = O 



är af graden m med afseende på ff(u + v) och man väljer (m + 1) 



