206 PHRAGMÉN, EN SATS UR DE ELLIPT. FUNKTIONERNAS TEORI. 



punkter v^ . . . v^ + i, i hvilka cp(v) återtar ett och samma värde 

 a, så har eqvationen i z 



G(q)(u),a,z) = 

 rötterna 



(fii^i + '^i) (Piiji + ^m + l), 



(fnin + V^) (p„(u + V,n +l). 



Således måste man, då antalet olika rötter icke kan öfver- 

 stiga 771, för hvarje r<-värde ha en likhet af formen 



(Pa(u + Vy) = (pß{u + v§) iy > d), 



hvilket, då antalet sådana kombinationer är ändligt, icke är 

 möjligt, om icke en af dessa likheter är en identitet. Men at 

 en identitet 



ipa{u + 2to) = (pß{u), 



d. v. s. ett elements af funktionen q)(2to + ii) i en viss punkt 

 identitet med ett af elementen af (p{u) i samma punkt, följer 

 att cfi(2iü + u) och (p{u) äro samma funktion, d. v. s. att (p{u) 

 har perioden 2w. 



Låt nu 2w beteckna en period till (p{u) sådan att det icke 

 finnes någoii period af formen 2^«w, f.i = ett reelt, icke helt tal. 



En sådan period finnes. Låt vidare z =^ e '^ . De elementära 

 symmetriska funktionerna af cp^u . . . (fnii äro då entydiga analy- 

 tiska funktioner af z, som icke kunna ha några andra väsentligt 

 singulära ställen än z — O och ^ = oo , och man ser som ofvan, 

 att om funktionen (p{u) icke är en algebraisk funktion af z, så 

 återtager hon samma värde för {m + 1) ^-värden, och således 

 för (in + 1) «(-värden, som icke äro eqvivalenta med afseende 

 på perioden 2w. Deraf sluter man att (p{u) har perioder, hvil- 

 kas förhållande till 2w icke är reelt. 



Vi välja nu godtyckligt två perioder 2w, 2to, hvilkas qvot 

 icke är reel, och bilda den till dessa perioder hörande funktionen 

 p(u\ci),co). Man inser då lätt att q)(u) är en algebraisk funk- 

 tion af z = p(u\(o,w'). Ty när z är beläget i omgifningen af 



