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theilt zu werden, da sie einen eigenthümlichen Zusammen- 

 hang solcher Reihen mit gewissen Gegenständen der Zah- 

 lentheorie hervortreten lassen. Die Literatur der bereits 

 bekannten Sätze habe ich jedesmal an den betreffenden Stel- 

 len mitgetheilt. 



Unter einer harmonischen Reihe versteht man eine 

 Reihe, welche nach Potenzen der natürlichen Zahlen fort- 

 schreitet, wobei die Glieder sowohl positiv als negativ ge- 

 nommen werden können. Ist die Reihe eine unendliche, so 

 ist sie nur dann konvergent, wenn der Exponent negativ 

 ist; und zwar muss derselbe, wenn alle Glieder positiv sind, 

 der Grösse nach ]> 1 sein. Soll die Reihe noch konvergi- 

 ren , wenn der Exponent zwar negativ, aber der Grösse 

 nach <[1, so müssen die Zeichen der Glieder in regelmäs- 

 sigen Perioden wechseln. Im gegenwärtigen Aufsatz kom- 

 men nur Reihen der letzten Art vor. 



Nimmt man den Exponent s <[ 1 an, so habe ich früher 

 gezeigt ^), dass jede harmonische Reihe der erwähnten Art 

 zurückgeführt werden kann auf die für alle von Null ver- 

 schiedenen Werthe von x endlich bleibende Funktion 



Hiebei bedeutet K eine unendlich wachsende ganze 

 positive Zahl, und Cs eine von s abhängige Konstante, wel- 

 che durch die Gleichung 



1.1 1 1 Ki-s 



^^ ^ ^ 2s ^ 3s ^ • • • (K— l)s ^ 2 . Ks l_s 



definirt ist. Die Konstanten Cs habe ich auf einem Weg, 

 den ich hier nicht weiter beschreibe, folgenderweise be- 

 stimmt : 



1) Mitth. der Berner Naturforsch. Ges. No. 419. 



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