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Löst man endlich noch die Summen auf, so erhält nun 

 die vorige Gleichung folgende Form 



1 



* 2rs sm — 



Die Gleichung (VII) verdanken wir Gauss, welcher sie 

 zuerst aus der Theorie der Gleichung x" — l r=: ablei- 

 tete und später direkt bewies -). Indessen halte ich auch 

 den obigen indirekten Beweis der Aufmerksamkeit nicht 

 unwerth, da er ohne Hülfe imaginärer Grössen geleistet 

 wurde. 



Ex. Für n := 7 wird aus (VII) 



271 47T , 8n y 7 



sin Y + sm — + sm Y = -^ 



und aus (VIII) 



111111. 



^ 2s 3s 4s 5s 6s ^ 8s ^ 



— A\/7 



(1 + 0-T-; - • • •) 



2 . 7s ^ ' 21— s 



27r A/ 3 



Für n = 3 wird aus (VII) sin — ==: —— und aus (VIII) 



1111 — A\/3 , 1 ^ 



2s ^4s 5? 7s "* 2.3s ^ 21-s^"*-' 



Ist zweitens n eine Primzahl von der Form 4 m 4- 1? 

 so ist n — N = N, n — R = R. Es ist sogleich klar, 



n— 1 n— 1 



dass alsdann JS" [R] =^ 0, 2" [N] =^ 0, und dass somit 

 1 1 



keine der Gleichung (VIII) analoge Bestimmungen erhalten 



werden. 



1) Disqu. arithm. pag. 636. 



^) Summatio quarund. serierum (Comra. Gott. Tom. I.) 



