28 



111. 



3s ^ 5s 7s ^ 



""' (1 - J-. + 7^-- '"') (XI) 



sn ^ 31— s 52— s 



a^rssiny "^ ^ 



Diese zuerst von Prof. Malmsten aufgestellte Glei- 

 chung wurde ebenfalls, unabhängig von jenem, von Prof. 

 Schlömilch ^) angegeben und später auf einfache x\rt be- 

 wiesen 0. Der Beweis von Malmsten gründet sich auf Ei- 

 genschaften bestimmter Integrale, und ebenso ein späterer 

 Beweis von Hofr. Clausen^). 



Die Annahme n = 8 gibt eben so leicht für die bei- 

 den Gleichungen r :=^ 1 und r ^= 3 die Bestimmung 



1 11 1 



3s 5s 7s 9s ^ 



= (^-^Vl^ (1 + J_ _ _1_ _ . . .) (XII). 



8= rs sin ^1 ^'-' 5i- 



Höhere Potenzen von 2 ergeben keinerlei neue Re- 

 sultate. 



§. VI. 



Zur analogen Behandlung der Gleichung (llj überge- 

 hend, kann ich mich kürzer fassen und werde nur die Re- 

 sultate angeben, indem ich für deren Herleitung auf die in 

 den §. 11 bis V angewandten Methoden verweise. 



Es sei n eine Primzahl von der Form 4 m + 1. Man 



2nv 

 bezeichne die Grösse cos mit (r), so stellt die Summe 



n ^ ' 



n-1 n— 1 



JS" (R) 4- 2" (N) die Hälfte der Summe (1) + (2) + . . . 



1) Theoremata nova de integr. def. Upsal. 1842. 



2) Grunert, Archiv f. Math. Bd. XH, Nr. XXXV. 



3) Schlömilch, Zeitschr. f. Math. Jahrg. III. 

 *) Gr. Arch. f. Math. Bd. XXX, Nr. XX. 



