6 DILLNER, OM INVERSIONEN AF EN ALGEBRAISK INTEGRAL. 



Äni7i. I enlighet med I n:o 4, anm., få vi, för b^ = . . . = b^u, ^ 

 stället för (2) följande utveckling, u — ßj^ = (x — ß^Y "*" ^ • QiC^), 

 der Qi(ä^) är af graden 7i — (j-i + 1). Utvecklingen af det här- 

 emot svarande systemet integraler möter ingen svårighet och 

 lemnas derför här åsido. 



Öfvergång mellan rötterna af en allmän n:te grads 

 eqvation genom de förändringar af motsvarande inte- 

 graler, som liärflyta från slingor, beskrifna af ti om 

 förgreningspiinkterna /?j, . . ., ßn — i- 



3. Denna öfvergång grundar sig på följande sats\): 

 Låt Jj(u), . . ., Jn(u) vara de n variabla rötterna af n:te 

 grads eqvationen P(^x) = u samt b^, . . ., bn — i de (n — 1) kon- 

 stanta och olika rötterna af derivatan P\x) = O, då följaktligen 

 bj. är en dubbel rot till eqvationen P(x) = /?,. (r=: 1,2, ..,, n — 1); 

 låt vidare Jr(u) och Jj.+i(u) utmärka de två rötter, som sam- 

 manfalla med dubbelroten b,, för u = ßr', jag seiger då, att för 

 u beskrifvande en slinga om förgreningsstället ßr förändras funk- 

 tionerna Jr{u) och Jr^\{u) dcn ena i den andra, under det att 

 de öfriga (n — 2) funktionerna Js(u) icke lida någon förändring. 



Emedan funktionernas J^{u) , . . . , Jn{u) antal är precist n, 

 så följer, att en förändring af någon af dessa funktioner endast 

 kan ske på det sätt, att två af funktionerna förändras den ena 

 i den andra; emedan vidare funktionerna J^(u) , . . . , J Ju) äro 

 kontinuerliga och entydiga i alla punkter af planet utom i för- 

 greningspunkterna ß-^, . . ., ßn — i (I, n:o 2 — 5), så inses, att en 

 sådan förändring endast kan ske i de punkter, der två af dessa 

 funktioner, låt vara Jr(u) och Jr + i(u), sammanfalla med dubbel- 

 roten br, d. v. s. i punkten ßr (r = 1, 2, . . ., n — 1). Men då 

 vi låta u beskrifva en slinga om punkten ßr, så eger berörda 

 förändring med nödvändighet rum, under det att de öfriga (w — 2) 

 af de med Js(u) betecknade funktionerna icke lida någon för- 

 ändrins. Alltså är den framstälda satsen bevisad. 



') Jemför den af PuiSEUX behandlade teorien om de algebraiska funktionerna, 

 Journal de Liouville T. XV & XVI. 



