12 DILLNER, OM INVERSIONEN AF EN ALGEBRAISK INTEGRAL. 



Vj, undergår, då u enligt n:o 3 beskrifver slingor om förgrenings- 

 punkterna /?j, . . ., /?„_! för att bilda öfvergången från den ena 

 till den andra af de n rötterna till eqvationon I (1). 



6. Utom inversionen Jf{u) ha vi nu funnit en ny inversion 

 3r{v) såsom uttryck för roten a; till en allmän n:te grads eqva- 

 tion 1(1), hvarvid en ny variabel v blifvit införd, som är för- 

 bunden med den oberoende variabeln u genom relationen (9). 

 Det gäller nu att uppvisa konvergensområdet för potensserien 

 (14) såsom uttryck för den senare inversionen. 



Emedan derivatan ^r(y) i (13) är ändlig för alla ändliga 

 värden på .v och emedan enligt I n:o 1 qvantiteterna x och u 

 äro öfverallt samtidigt ändliga, så är funktionen (3,(w) kontinu- 

 erlig för ett sådant område af planet, som innesluter värden på 

 v, hvilka svara mot alla ändliga värden på u. 



Emedan för hvarje konstant värde u = a, för hvilket deri- 

 vatan ^'r{v) är skild från O och -^ , följande limes enligt D (3) 

 gäller, 



v = a 



{v — a)^'r(v) _ 



^r(v) — ^r{a) 



så är funktionen ^r{v) entydig för hvarje sådan punkt a. 



Om vi låta (x — es) beteckna en linear faktor af produkten 

 Qi(cv) . . . Qn-i(x) och om y = 6' utmärker ett nollställe hos denna 

 faktor, så gäller enligt D (58) följande limes. 



( v-c)^-.(v) 

 ^,.(v) — e. 



— 2 



hvadan funktionen Vx — es {s = 1,2, . . ., (n — 1) (n — 2)) är en- 

 tydig för hvarje sådan punkt v = c, der derivatan ^'r{v) är noll. 

 Af dessa två limites framgår, att funktionen ^r(v) är entydig 

 för samma område af planet, för hvilket hon är kontinuerlig. 



Alltså är potensserien (14) konvergent för ett sådant om- 

 råde af planet, som innesluter värden på v, hvilka svara mot 

 alla ändliga värden på u och x. 



