ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1885, N:0 4. 13 



Vi säga nu, att vi utvecklat inversionen J},.(i*), såsom uttryck 

 för roten till en allmän eqvation af n:te graden, i jjotensserie 

 för ett konvergensområde, der förgreningspunkterna ß^, ..., ßn-i 

 befinnas eliminerade. 



Anm. Enligt D (45) få funktionerna [^riy) — (3?(«)} ocli [^r{v) — ej 

 produktutvecklingar analoga med den i I n:o 9 gifna. 



7. Emedan hvarje oändlighetsställe v = b hos inversionen 



2 

 3,.(u), h vilket enligt D (57) har ordningstalet ^ , uteslutes 



^ ' ^ - ' ^ n[n — o) 



från det för potensserien (14) gällande konvergensområdet, så 



följer, att inom detta område icke kan förefinnas någon period- 



parallelogram. För funktionen ^rip), såsom inversion af en 



principal integral, gifves ej heller något periodnät. 



Anm. Af det riktiga JACOBi'ska beviset '), att multiplerna af tre eller 

 flere oberoende perioder gifva ett periodnät med oändligt små 

 rutor, eger man endast rätt att sluta, att vid inverteringen af 

 en hyperelliptisk integral kunna högst två oberoende perioder 

 för gången medtagas eller ock en eller ock ingen., d. v. s. att 

 inversionen af den generela integralen, såsom egande flere än 

 två oberoende perioder, icke existerar som analytisk funktion, 

 men väl att som analytisk funktion existerar inversionen af den 

 partikulär a integralen med två oberoende perioder-) eller med 

 en period, likasom ock inversionen af den principala inte- 

 gralen såsom i (11); det analytiska uttrycket härför är, att 

 hela tals faktorerna i periodmultiplerna kunna såsom aröiträra 

 äfven vara noll. Detta existensförhållande belyses genom föl- 

 jande exempel. Af den principala integralen 



X 



/ da' 



f (.r — ay ' 



a 



då f,i är ett irrationelt tal < 1 och x beskrifver k stycken 

 slingor om punkten a, fås den generela integralen 



^(g2fik7ti = i ±_^ (+ k = 1,2, . . ., OO); 



inversionen af denna generela integral 



') Grelles Jonnial, B. XIII. 



^) Jfr min afhandling, Aperqu d'une nouvelle maniére de représenter les inver- 

 sions hyperelliptiques (Mérnoires de la Société des sciences physiques et na- 

 turelles de Bordeaux, t. V (2:e serie), o:e cahier).- 



