22 GYLDÉN, INTERMEDIÄKA BANOR. 



Såsom funktioner af v, ö, o ocli i liafva vi emellertid föl- 

 jande uttryck för de rätliniga koordinaterna: 



X = r[cos 6 cos (i' — o) — sin ß sin (v — ff) cos ^] 

 y = r [sin B cos (y — o) + cos /9 sin {v — a) cos z] 

 z ^= T sin 2 sin (u — (?) 



Man finner liäraf: 



-^ = — r[cos ö sin (v — o) + sin ß cos (■y — ö") cos z] 



^ = — rfsin ß sin (v — g) — cos ß cos (v — a) cos t] 

 öv ■ 



^y 



Ö2 ... ^ 



-TT — ^' sm 2 cos ( v — o) ; 

 öv 



och dessa likheter gälla äfven om er, ß och i anses såsom funk- 

 tioner af v. 



OX UV 



En jemförelse af dessa uttryck med värdena för -^ och ^, le- 

 der till likheterna: 



dx dx oz 



cos i^^ = -— 4- sin i sin ß ^r- 



c'u 0/ öv 



.01/ dl/ . . öz 



cos z-^ = -TT, — sm z cos ÖTT- 



Addera vi nu till den andra likheten i systemet (1): iden- 

 titeten 



O = cos iZ^ — r sin i cos i cos {v — g)Z, 



öv 



samt införa värdet 



, „ dl .dv 



cos b^-r = cos i-r- , 

 dt dt 



^('^'^l . . .dvdi 



så framgår 



d 

 (7) cos i^^-r^- sin i~j^ 



A ^^dx ^,dy „dz 



= cos isX^r + y# + ^^ 



I öv öv öv 



— r sin i cos (v — g) {sin z sin ßX — sin i cos ß Y 

 + cos zZ} 



