22 CHARLIER, INTEGRATIONEN AF DIFF.-EKV. FÖR INTERMED. BANAN. 



Aro åter tvenne rötter imaginära, så blir såsom vi skola se 

 uttrycket för t af formen 



a + h<LWu 

 1 + t/cnw ' 



ocli i detta fall låter således ej r framställa sig under form af 

 en elliptisk integral af tredje slaget. I sina föreläsningar denna 

 hösttermin har Prof. Gyldén härledt följande formel för t 



kcniv&nu 



t — tn = Au + B log TTT i + C arctang 



0{u + w) 



ånu 



der Ä, B och C äro vissa konstanter. 



Det kan emellertid både från teoretisk och praktisk syn- 

 punkt ej vara utan intresse att visa, att äfven då tvenne rötter 



dr 

 till -j- = ^ äro imaginära, integralen till (1) låter framställa sig 



under en form, som är analog med den som erhålles då alla 

 rötterna äro reela. Detta kan ske på följande sätt. 



Med jQ(m, a, b) beteckna vi en hel transcendent funktion, 

 som för hvarje värde på u är definierad genom serien 



7l7tU 



(2) Q(u, a, h)=l + 2 V (— 1)" Q"' cos ^ , 



?! = 1 



hvarest 



Tiib 



samt a och h äro tvenne fullkomligt godtyckliga kvantiteter, 



endast underkastade det vilkoret, att den reela delen af kvoten 



ih .. 



— ar negativ. 



Vi anmärka att för a = K, 6 = iK', Q(u) ingenting annat 

 är än Jacobis ©-funktion. 

 £2(ti) har egenskaperna 



( n(u + 2a) = n(u) 



(3) _^. 



I Q(u + 2b) = — Q-'e « n(it) , 



samt inom den af 2a och 2b bildade periodparallelograramen en- 



