Über die geodätischen Linien auf einem konvexen Körper. 
Von 
ÄNDREAS SPEISER. 
(Als Manuskript eingegangen am 24. Juli 1920.) 
Zwischen zwei Punkten eines konvexen Körpers lassen sich im 
allgemeinen unendlich viele geodätische Linien ziehen. Mindestens eine 
davon ist jedoch so beschaffen, dass sie die zu den Endpunkten kon- 
jugierten Punkte nicht enthält, insbesondere gehört dazu die kürzeste 
Verbindungslinie. Für diesen von Hilbert zuerst mit Methoden 
der Mengenlehre bewiesenen Satz geben wir in $ 1 einen Beweis, der 
'sich auf das Cauchysche Existenztheorem stützt, und in $ 3 unter 
engeren Voraussetzungen einen zweiten wesentlich davon verschie- 
denen und ganz elementaren Beweis. Dabei untersuchen wir den 
Inbegriff des von den geodätischen Linien zwischen dem (n—1)-ten 
und dem n-ten Brennpunkt überstrichenen Gebietes. Unter ge- 
wissen Voraussetzungen (aber stets für „=1), bedeckt 
dieses Gebiet den ganzen Körper. Dieser Satz gilt jedoch 
nicht für beliebige Körper, z. B. nicht mehr stets für den Torus 
mit n=2 
In $ 4 wird mit diesen Prinzipien ein einfacher Beweis eines 
Satzes von Poincar& über geschlossene geodätische Linien‘) gegeben 
und im Schlussparagraphen wird hieraus mit Hilfe von Sätzen des- 
selben Mathematikers die Existenz von unendlich vielen geschlossenen 
geodätischen Linien bewiesen auf konvexen Körpern, die sich nicht 
zu sehr von einer Kugel unterscheiden. Die Methoden lassen sich auf 
allgemeinere definite Variationsprobleme ausdehnen. 
> 
Es sei $ eine Fläche, die Grundfläche, welche in jedem 
Punkt eine bestimmte Tangentialebene besitzt. In einem rechtwinkligen 
Koordinatensystem, dessen Ursprung in einem Punkt der Fläche sich 
befindet, während die z-Achse mit der Normalen zusammenfällt, sei 
') Poincare: 
Sur les lignes geodesiques des surfaces convexes. Amer. Trans- 
actions t. 6. pg. 237 
