Jahrg. 66. Andr. Speiser. Über die geod. Linien auf einem konvexen Körper. 29 
die Gleichung der Fläche für eine gewisse Umgebung gegeben durch 
z=/(x,y), wobei die Ableitungen von f bis zur dritten Ordnung 
existieren und beschränkt sein sollen. Alsdann folgt aus dem Cauchy- 
schen Existenztheorem, dass von jedem Punkte in jeder Richtung 
genau eine geodätische Linie ausgeht. Sie ist rektifizierbar und be- 
liebig weit fortsetzbar. Ist ferner eine abzählbare Menge von Punkten 
mit Richtungen auf der Fläche gegeben, die gegen einen Punkt ® 
mit einer Richtung R konvergieren und trägt man auf den geodätischen 
Linien, welche in diesen Punkten mit den gegebenen Richtungen aus- 
gehen, dieselbe Länge / ab, so konvergieren auch die Endpunkte und 
die Endrichtungen gegen den Endpunkt und die Endrichtung der 
geodätischen Linie, welche aus ® mit der Richtung R ausgeht. 
Wir nehmen nun an, dass die Fläche unberandet ist, und betrachten 
von allen geodätischen Linien, welche vom Punkte ® ausgehen, Stücke 
von der Länge /, von ® an gerechnet. Aus den bisherigen Ausführungen 
folgt, dass die Punkte dieser Kurven eine Fläche erzeugen, welche 
auf der Grundfläche aufliegt und sie teilweise mehrfach überdecken 
kann. Insbesondere wird von ihr jeder Punkt über- 
deckt, der mit ® durch eine Kurve von einer Länge </ 
verbunden werden kann. Unter unsern Voraussetzungen lässt 
sich diese bekannte Tatsache auf folgende Weise erhärten. Wenn die 
Deckfläche keinen Punkt der Enveloppe der von ® ausgehenden zeo- 
dätischen Linien enthält, so bilden diese auf ihr ein Feld; der Satz ist 
alsdann evident und keine in ® beginnende Kurve von der Länge /! kann 
die Deckfläche verlassen, wenn sie auf ihr gezogen wird. Nun ist die 
Krümmung der Fläche in jedem Punkte stetig, daher lässt sich um 
jeden Punkt ein geodätischer Kreis X ziehen, innerhalb dessen die 
geodätischen Linien, die von diesem Punkt ausgehen, ein Feld 
bilden. Die durch Kurven mit der Länge <! von ® aus erreich- 
baren Punkte bilden eine abgeschlossene Menge. Also lässt sich für 
den Radius dieser geodätischen Kreise eine feste Zahl o angeben, die 
für jeden Punkt dieses Gebietes gilt. Wir nehmen nun den Satz für 
I — 5 als bewiesen an und zeigen seine Richtigkeit für . Es sei Q ein 
Punkt, der mit ® durch keine Kurve von der Länge <!— ver- 
bunden werden kann, dagegen durch eine solche von der Länge <1. 
Wir tragen von ® aus auf der geodätischen Linie, die durch den 
Ausgangswinkel « charakterisiert sei, die Strecke ! — E ab. Der End- 
punkt sei®R («). Anderseits ziehen wir um Q den geodätischen Kreis 
