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30 Vierteljahrsschrift d. Naturf. Gesellsch. in Zürich. 1921 
X von Radius e; f(«) bedeutet die Zahl l, wenn R ausserhalb 8 
liegt, im andern Falle aber ? — STAR, wobei AR geodätisch in 
N gemessen werde. Diese Funktion ist stetig und besitzt ein absolutes 
Minimum <I. Für dieses ist die Linie PRO eine unge- 
brochene geodätische Linie, welche eine nicht mehr 
verkürzbare Verbindungslinie von P mit Q darstellt. 
Wäre nämlich bei R ein Winkel + 180° vorhanden, so liesse sich 
der Linienzug PR Q weiter verkürzen. Auf der verkürzten Linie 
gibt es mindestens einen Punkt R, der Endpunkt einer geodätischen 
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Linie von der Länge 2 -—- 5 Ist und es wird BR > 1 — = auf der 
_ _ 
ja 
verkürzten Kurve gemessen. Daher wäre RO kleiner als das Mini- 
mum von / (e) — ( 2), entgegen der Voraussetzung. 
g.2. 
Wir betrachten nunmehr von den geodätischen Linien, die von 
P ausgehen, bloss die Stücke bis zur Enveloppe. Diese bilden das 
erste Blatt der Deckfläche. Entsprechend werden die Teile 
zwischen dem n — I-ten und dem n-ten Brennpunkt das »-te Blatt 
bilden. Nach dem Satz von $ 1 überdeckt das erste Blatt 
bereits die ganze Fläche, denn auf der kürzesten geodätischen 
Linie von ® nach Q liegt der zu P konjugierte Punkt jenseits von 
Q. Ist die Fläche mehrfach zusammenhängend, so wird man mit Vor- 
teil an ihre Stelle die universelle Überlagerungsfläche 
setzen. Wenn die ursprüngliche Fläche einen endlichen ; 
Flächeninhalt hat, so ist die kürzeste geschlossene | 
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keine Ecke mehr aufweisen, weil sie sonst noch verkürzt werden 
könnte, entgegen der Voraussetzung. Dasselbe gilt auch für Flächen 
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) Ve. Hadamard: Les surfaces ä courbures Opposees ,. 
. . Journal de Math., 
Home sep. t. 4, pp. 97 
