Jahre. 66. Andr. Speiser. Über die geod. Linien auf einem konvexen Körper. 31 
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die sich ins Unendliche erstrecken, wenn von vorneherein die zur Kon- 
kurrenz zuzulassenden Kurven auf ein endliches Gebiet beschränkt 
werden können, wie z. B. beim einschaligen Hyperboloid oder bei der 
Schwarzschen Minimalfläche. 
Während bei den Flächen negativer Krümmung die Deckfläche 
denkbar einfach ist — sie stimmt mit der universellen Überlagerungs- 
fläche überein und versieht sie mit einem überall (ausser i in ®) regu- 
lären System von Polarkoordinaten, 
eine Enveloppe auftritt, die Verhältnisse ode kaisie listen 
Es sei eine konvexe geschlossene Fläche gegeben, deren Krüm- 
mung der Ungleichung genügt: = ne Er Alsdann liegt der zu 
PB konjugierte Punkt in einer Entfernung, deren Grösse zwischen x b 
und za liegt. Es sei g («) die Entfernung des konjugierten Punktes 
zu ® auf der durch den Ausgangswinkel « festgelegten geodätischen 
Linie. Alsdann ist y («) eine stetige periodische Funktion; sie be- 
sitzt daher mindestens ein Maximum und ein Minimum innerhalb einer 
Periode. Diesen entsprechen die Rückkehrpunkte der Enveloppe. 
Im Falle des Maximums besitzt die Deckfläche eine Spitze, im Falle 
des Minimums dagegen greift die Deckfläche über sich selbst hinweg. 
Der erstere Fall ist derjenige des foyer en talon, der andere Fall 
entspricht dem foyer en pointe. !) 
Ein einfaches Beispiel in der Ebene mag dieses Verhalten an- 
schaulich machen. Die Normalen auf einer Ellipse besitzen als Enve- 
loppe eine Asteroide. Wir nehmen bloss die äussere Normale, sowie 
das Stück der inneren Normalen bis zur Enveloppe und betrachten 
die hievon überstrichene Fläche. Sie kann folgendermassen konstruiert 
werden: Man schneide die grosse Achse, welche wir als die x-Achse an- 
nehmen, zwischen den beiden daraufliegenden Spitzen der Asteroide 
auf und hefte die obere Hälfte der Asteroide an das untere Ufer des 
Schnittes, die untere Hälfte an das obere Ufer an. Die Deckfläche 
besteht alsdann aus der ganzen Ebene, zusammen mit den beiden 
angehefteten Lappen, die sich längs des aufgeschnittenen Stückes der 
x-Achse durchdringen. An diesem Beispiel wird man die Natur der 
Flächen in der Nachbarschaft von Rückkehrpunkten leicht erkennen: 
Einem Minimum von 4(«) entsprechen hier die Rückkehrpunkte auf 
der x-Achse, einem Maximum diejenigen auf der y-Achse. Auf ähnliche 
Weise kann man Flächen mit drei Paaren von Rückkehrpunkten 
') Vgl. Hadamard, Lecons sur le caleul des Variations, pg. 110, und Bolza, 
Vorlesungen über Variationsrechnung pg. 360, wo sich auch Figuren befinden. 
