Jahrg. 66. Andr. Speiser. Über die geod. Linien auf einem konvexen Körper. 33 
wenn überall C’ dv = o ist, also 1. auf der geodätischen Linie (dv = 0), 
2. auf Linien, die teilweise Randlinien (Ü = o), teilweise geodätische 
Linien sind. Die letzteren können so beschrieben werden: Man gehe 
von Q aus auf der geodätischen Linie in der Richtung nach ® bis 
zur nächsten Enveloppe. Hier kann man in der Richtung nach der 
nächsten Minimalecke auf der Kante weitergehen und sie auf einem 
beliebigen Punkt verlassen, um auf der dort berührenden geodätischen 
Linie in der Richtung nach ® weiterzugehen usf. Alle diese Wege 
haben dieselbe kürzeste Länge u. Als Ganzes genommen ist 
das Linienelement du? + C? dv? dasjenige der Deckfläche und nicht 
der Grundfläche. 
Über die Enveloppe gelten noch folgende Sätze: 
Satz 2: Wenn sich die p-te und die q-te Enveloppe 
gleichsinnig berühren, so gilt dasselbe von der (p-+r)- 
ten und der (g-+r)-ten. Insbesondere geht die (9— p)-te 
Enveloppe durch den Punkt %. 
Hierbei vorkommende Deckflächen und Enveloppen mit negativer 
Ordnungszahl sind gleichbedeutend mit den entsprechenden positiven, 
bloss ist der Richtungssinn der geodätischen Linien umzukehren. 
Beweis: Es sei der Punkt Q mit der Richtung R gemeinsam 
den beiden Enveloppen €, und &,. Durch Q und R ist der konjugierte 
Punkt und die dazu gehörige Richtung eindeutig bestimmt, er liegt 
also sowohl auf E&,,, wie auf &,,,. Dasselbe gilt auch von dem rück- 
wärtigen konjugierten Punkt, der alsdann €,_, und &,_, gemeinsam ist. 
Satz 3: Wenn sich die p-te und die q-te Enveloppe 
gegensinnig berühren, so geht die (p-+g)-te Enve- 
loppe durch ®. Denn alsdann berühren sich €_, und €, gleich- 
sinnig. 
Satz 4: Die Anzahl der gleichsinnigen, sowie die- 
jenige der ungleichsinnigen Berührungen zweier En- 
veloppen ist jeweils eine gerade Zahl. 
Beweis: Der Satz folgt aus der Tatsache, dass, wenn Q der 
zu ® konjugierte Punkt auf einer geodätischen Linie ist, auch umge- 
kehrt ® den zu Q konjugierten Punkt auf derselben Linie mit um- 
gekehrtem Richtungssinn darstellt. Wenn Q mit PB zusammenfällt und 
n-ter konjugierte Punkt zu PB ist, wenn ferner «, und«, die Richtungen 
der geodätischen Linien in ® beim Ausgang und bei der Rückkehr 
bedeuten, so stimmt die geodätische Linie, welche unter dem Winkel 
@, + 180° von ® ausgeht, mit der vorigen überein, nur ist der Richtungs- _ 
sinn umgekehrt. Daher geht die »-te Enveloppe unter den Winkeln 
@, und «, 4+180° durch den Anfangspunkt, wobei «, + «, -+ 180° ist. 
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 66. 1921. 3 
