34 Vierteljahrsschrift d. Naturf. Gesellsch. in Zürich. 1921 
3 
Bekanntlich ist eine geodätische Linie auf einer Fläche höchstens 
solange kürzeste Verbindung zweier Punkte B und Q, als der zu PB 
konjugierte Punkt nicht zwischen ® und Q liegt. Hieraus und aus 
dem in $ 1 besprochenen Satze folgt, dass das 1. Blatt der Deckfläche 
die Grundfläche in jedem Punkt mindestens einmal überdeckt. Dies 
ist keineswegs eine Eigenschaft eines beliebigen Systems von Kurven 
mit Enveloppe, wie man sich sofort durch Beispiele überzeugen kann, 
sondern die Tatsache, dass die Kurven durch ein definites V ariations- 
problem geliefert sind, kommt hier wesentlich zur Geltung. 
Wir setzen voraus, dassdie Enveloppenureineend- 
liche Anzahl von Minimal- und Maximalspitzen sowie 
von Doppelpunkten besitzt. Alsdann gilt der 
Satz 5: Jeder Punkt Q der Enveloppe ausser Minimal- 
spitzen liegt auf einem Punkt der Deckfläche auf. 
Beweis: Wir gehen von Q aus in Richtung abnehmender « auf 
der Enveloppe weiter bis zum nächsten Doppelpunkt Q, : Hier wählen 
wir denjenigen Zweig, der in Q, die niedrigste Koordinate u aufweist, 
gehen auf ihr weiter in Richtung abnehmender x und fahren in gleicher 
Weise fort, bis wir in eine Minimalspitze M gelangen. Nun betrachten 
wir die Deckfläche und beschreiben auf ihr denselben Weg, aber im 
umgekehrten Sinn durchlaufen, von M beginnend und in Q endend. 
Er beginnt in M auf einem der beiden in M auslaufenden Zweige; 
dieser liegt auf dem Inneren desjenigen Teils der Deckfläche, der durch 
den anderen Zweig begrenzt ist ($ 2), und auf diesem Teil zeichnen wir 
den Weg auf. Ich behaupte, dass wir niemals an denRand der 
Fläche anstossen. Denn die Werte der Koordinate x, die auf 
dem Randweg aufgezeichnet sind, nehmen genau mit der Länge des 
Weges zu, nur in den Eckpunkten können sie Sprünge nach oben auf- 
weisen. Da aber der Weg keine geodätische Linie ist (die Enveloppe 
besitzt eine von o verschiedene geodätische Krümmung), so nehmen 
die Werte von u, welche die auf der Deckfläche aufgezeichnete S pur 
dieses Weges durchläuft, um weniger zu. Wenn wir also an den Rand 
stossen, so ist der dortige Wert von u kleiner als der auf dem Rand- 
weg aufgezeichnete, und wir hätten in diesem Doppelpunkt den 
falschen Zweig genommen. 
Hieraus folgt der 
Satz 6: Das erste Blatt der Deckfläche bedeckt die 
Grundfläche in jedem Punkt mindestens einfach. 
Denn ein unüberdecktes Gebiet müsste von Enveloppestücken 
begrenzt sein. Diese liegen aber auf überdecktem Gebiet, 
EUER 
