Jahrg. 66. Andr. Speiser. Über die geod. Linien auf einem konvexen Körper. 35 
Damit ist zugleich der Satz bewiesen, dass jeder Punkt mit ® 
durch eine geodätische Linie verbunden werden kann, welche kürzeste 
Verbindungslinie ist. 
Satz6a: Wenndie (»—1)-te are die »n-te Enveloppe 
sich nirgends schneiden, so bedeckt das »-te Blatt der 
Deckfläche dieGrundflächeüberallmindestenseinfach. 
Beweis: Die Grenzen der unbedeckten Gebiete müssten wieder- 
um durch Stücke der Enveloppen gebildet werden. Für die »-te be- 
weist man aber genau wie vorher, dass sie ganz im überdeckten Gebiete 
liegt. Dasselbe zeigt man für die (n—1)-te, nur muss für die Kon-- 
struktion des Weges überall der Richtungssinn umgekehrt genommen 
werden, sodass die Maximalspitze an die Stelle der Minimalspitze 
tritt. Aber wir wissen, dass das Verhalten bei den Maximalspitzen. 
des innern Randes gleich ist wie dasjenige der Minimalspitzen des: 
äussern Randes, SERIEN dass ein Übereinandergreifen der Ränder 
stattfindet. 
84. 
Wir wollen. nun annehmen, dass sich für alle Punkte der Grund- 
fläche die erste und zweite Enveloppe weder schneiden noch berühren. 
Dann geht die erste Enveloppe auch niemals durch ®. Offenbar ist 
dies erfüllt für Körper, die sich nicht sehr von der Kugel unterscheiden. 
Alsdann überdeckt die zweite Deckfläche die Grundfläche überall 
mindestens einfach. Insbesondere wird ® von ihr überdeckt und daraus 
schliessen wir den 
Satz 7: Durch jeden Punkt ® der Fläche geht min- 
destens eine geodätische Linie, welche nach einmaliger 
Berührung der Enveloppe nach ® zurückkommt. 
Wir suchen nun die kürzeste derartige Linie. Für diese ist ge- 
wiss ® nicht der zweite konjugierte Punkt, ausser wenn dieser eine 
Minimalspitze wäre, denn ein Punkt der zweiten Enveloppe liegt stets 
auf einem inneren Punkt des zweiten Blattes mit niedrigerer Koordinate 
«auf. Variieren wir nun den Ausgangspunkt ®, so variiert auch nach 
dem Existenztheorem von Cauchy das 2. Blatt stetig und, da ® durch 
das Innere überdeckt ist, so bleibt dies bestehen für eine gewisse 
Umgebung von ®. Dasselbe gilt auch im Fall der Minimalspitze. 
Hieraus folgt der 
Satz 8: Betrachten wir die kürzeste geodätische 
Linie, welche von ® aus nach Berührung von €, in den 
Ausgangspunkt zurückgeht, so gibt es durch jeden 
Nachbarpunkt ®’ benachbarte geodätische Linien, welche. 
