36 Vierteljahrsschrift d. Naturf. Gesellsch. in Zürich. 1921 
in diesen zurückkehren. Diese bilden also jeweils eineschwache 
Variation der Linie durch®. Sind dx, öy die Koordinaten von BP’, 
so gilt für die Variation der Länge die Gleichung: 
6J=(F„ö6x-+- F, öy)ä 
wobei E die Endrichtung, ‚A die Anfangsrichtung in ® bedeutet und 
dz\ dx dy dy \? 
rare, 
Soll nun die Länge ein Minimum sein, so muss ö .J verschwinden für 
jedes öx und öy, d.h. es muss sein F# = F#, und FÜ=F#. Daraus 
folgt: «= x’* und y’”=y'“, d.h. die Ausgangsrichtung stimmt mit 
der Endrichtung überein, und die Kurve ist eine geschlossene geo- 
dätische Linie. 
Satz 9: Auf der Fläche gibt es mindestens eine 
geschlossene geodätische Linie. Sieistauch diekürzeste 
aller geodätischen Linien, welche in den Ausgangs- 
punkt zurückgehen. 
$ 5. 
In diesem Paragraphen soll die Anwendung des letzten Theo- 
rems von Poincar&') ausgeführt werden. Ist das Variationsproblem 
in Parameterform gegeben: 
SF(a,y,x',y') dt = Extr., 
so lautet die Eulersche Gleichung: | 
Fı(&y" — a" Y)—+ Fayr — Fur = 0, wobei F, = Faraı 
Führt man den Winkel g ein, den die Tangente mit der x-Achse 
bildet, so kommt man zu folgenden Gleichungen: 
da uyaH dp 
an ee dt 
Der Parameter t stellt alsdann die Bogenlänge dar. Dieses System 
besitzt die Integral-Invariante 
SISF,dx dy dp, 
1 
ee Pi; LE er Br) 
denn es gilt: 
OF,csp BF, Sin p |, Fe — Pay) er 
d, dy dp on 
0. 
RR 
') Vgl. Poincars: Sur un theoröme de Geometrie, rendic. del eire. mat. di 
Palermo, t. 33, pg. 375. 
G. D. Birkhoff: Demonstration du dernier th&or&me de Geometrie de Poin- 
care. Bull. de la soc. math. de France. A. 42, pg- 1; sowie The restrieted problem 
of three bodies, rendic. del eire. mat. di Palermo, t. 39, pg. 265 
