Jahrg. 66. Andr. Speiser. Über die geod. Linien auf einem konvexen Körper. 37 
Im Falle der geodätischen Linien wird F, = eg — f?. Nun ist 
Vey—f*dx dy das Flächenelement do auf der Fläche und VYeg—f? dp 
ist der infinitesimale Winkel dö auf der Fläche, dessen Projektion dp 
ist. Daher lässt sich die Invariante auch so schreiben: | [ fdodö. Nun 
betrachten wir die geschlossene geodätische Linie %. Sie zerlegt 
die Fläche % in zwei Hälften, von denen wir die eine, 9, betrachten. 
Von jedem Punkt von 9 ziehen wir die kürzeste Linie nach 2. Eine 
solche existiert nach $ 1 und sie schneidet £ unter 90°. Das System 
dieser Kurven bedeckt $ überall einfach, aber es weist Unstetigkeits- 
stellen auf in denjenigen Punkten, von denen zwei verschiedene kürzeste 
Linien ausgehen. Es bildet einen Teil des ersten Blattes der Deck- 
fläche, erzeugt durch die zu ® normalen geodätischen Linien. Die 
orthogonalen Trajektorien des Systems sind die Parallelkurven zu 2. 
Sie sind konvex gegen & und ihre Ecken, welche in den Unstetig- 
keitspunkten auftreten, weisen ebenfalls gegen % hin. Ferner sind 
sie geschlossene Kurven, welche sich gegen einen Punkt zusammen- 
ziehen, den von & entferntesten Punkt in 9. Durch eine kleine De- 
formation des Systems können die Ecken weggeschafft werden, und 
wir erhalten ein System S geschlossener, gegen 2 konvexer Kurven, 
das mit ® beginnend zunächst aus Parallelkurven besteht und sich 
schliesslich in einen Punkt Q reduziert. .Q denken wir uns als Inbe- 
griff aller Flächenrichtungen durch den Punkt Q. Nun versehen wir 
die Kurven von © mit einem bestimmten Richtungssinn und betrachten 
die Gesamtheit der so gerichteten Linienelemente von ©. Sie bilden 
eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vom Typus des Ringes, begrenzt 
von & und von den Richtungen in Q. Hieraufändern wir den Richtungs- 
sinn und gehen von Q wiederum nach 2 zurück. Jede Kurve ist nun 
mit doppeltem Richtungssinn versehen und die Linienelemente bilden 
wiederum eine Ringfläche, begrenzt von den Linienelementen von &£, 
in den beiden Richtungen genommen. Bei Q findet keine Unstetigkeit 
statt. Wir nehmen die geodätische Linie, welche von dem Linienelement 
lin © ausgeht, und verfolgen sie, bis sie & zum ersten Mal berührt 
in I. I>[' ist eine Transformation 7 des Ringes in sich. Wenn I 
nahe bei 2 sich befindet, so folgt aus der Theorie der Jakobischen 
Gleichung, dass ein (' existiert, und hieraus durch Stetigkeit, weil die 
geodätische Krümmung der Kurven von © überall von 0 verschieden 
ist, dass dies für jedes Linienelement gilt. Für diesen Schluss vgl. 
Poincare. Die Länge des Stückes der geodätischen Linie zwischen I 
und ! sei Z (I). Tragen wir auf ihr von I aus die Strecke ?_L ab, und 
ordnen wir I das Linienelement dem Ende dieser Strecke zu, so er- 
halten wir eine Transformation der Linienelemente von ©, die stetig 
