we Vierteljahrsschrift d. Naturf. Gesellsch. in Zürich. 1921 
ist. Lassen wir ? von 0 bis 1 variieren, so variiert auch die Trans- 
formation stetig und für t=1 erhalten wir die Transformation 7 von 
© in sich selbst. Hieraus wird klar, dass die Linienelemente von & 
durch die Transformation im entgegengesetzten Sinne versetzt werden. 
Das invariante Flächenintegral lässt sich hier explizit angeben. 
Es gilt der 
Satz 10: Die Transformation T lässt das Integral 
Sfydw invariant, wobei y die geodätische Krümmung 
der Kurve © in jedem Punkte bedeutet. 
Beweis: Man erstreckt das invariante Raumintegral über die Ge- 
samtheit der Linienel teder geodätischen Linien von denInach den !'. 
Verschiebt man jeden Punkt auf der geodätischen Linie um die Strecke 
ds, so muss das Integral unverändert bleiben. Hierbei fällt am Anfang 
bei l ein Raumstück weg, am Ende wird ein anderes zugesetzt, und 
die Grösse ist offenbar: [ff drdw, wobei dr den Kontigenzwinkel der 
Kurven © bedeutet. Nun ist dr — y ds; daher bleibt das Integral 
dsffydo invariant, und da ds konstant ist, ist der Satz bewiesen, 
Hieraus folgt die Existenz von unendlich vielen ge- 
schlossenen geodätischen Linien. 
Zürich, den 23. Juli 1920. 
