Jahrg. 66. C. F. Geiser. Zur Erinnerung an Theodor Reye, 173 
umhüllen eine Fläche 2. Klasse (die Nullfläche oder das imaginäre 
Bild des Systems). Bildet man die Summe der Produkte der Massen- 
elemente in die Kuben ihrer Abstände, so entsteht ein Moment hö- 
herer Art!) des Massensystems nach einer Ebene, und alle Ebenen, 
für welche dieses Moment — 0 ist, umhüllen eine Fläche 3. Klasse. 
Man unterscheidet also für ein gegebenes Massensystem ein 1., 2., 
3, .... Moment in bezug auf eine Ebene und jeweilen zugehörig 
‚eine 1., 2., 3., .... Nullfläche von 1., 2., 8, .... Klasse. Umgekehrt 
lässt sich jede beliebige Fläche »nter Klasse als »te Nullfläche, und 
deren Gleichungspolynom als die Summe »ter Potenzen darstellen. 
Damit ist die Lehre von den algebraischen Flächen in einfache und 
fruchtbare Beziehung zur Massengeometrie gebracht. Ein interes- 
santes Beispiel ist folgendes: Es gibt © viele verschiedene Massen- 
systeme, von denen alle eine vorgeschriebene Fläche 3. Klasse als 
3. Nullfläche besitzen. Unter diesen befindet sich eines, das nur aus 
5 Massenpunkten besteht, d.h. die Gleichung jeder Fläche 3. Klasse 
kann in eine solche Form gebracht werden, dass die Summe von 
5 Kuben (linearer Ausdrücke inden Ebenenkoordinaten) = 0 sein muss. 
Damit ist unter Anwendung des Dualitätsprinzips zugleich der massen- 
geometrische Beweis eines Sylvesterschen Satzes erbracht, der in 
die erste Reihe derjenigen gehört, mit deren Hülfe die Flächen 
3. Grades jetzt fast ebenso leicht zu behandeln sind als die Flächen 
2. Grades. (Die allgemeine Fläche 4. Klasse [oder Grades] erfordert 
mindestens 10 Biquadrate.) 
 Reye hat seinen Arbeiten über Massengeometrie einen gewissen 
Abschluss gegeben, indem er den allgemeinen Begriff „apolarer“ 
Flächen entwickelte. Ausgangspunkt ist die Fundamentaldefinition: 
Es sei eine beliebige Fläche nter Klasse ®" als nte Nullfläche eines 
Massensystems m; (&, 4, 2), wi —1, 2, 3....ist, durch die Glei- 
chung in den Ebenenkoordinaten a, ß, 9, » als 
on = ID m,(au;+ By; + yz; — p)" = 0 
| dargestellt, ferner eine Fläche kten Grades 
durch F* (x,.y, 2) = 0. Aus den Elementen M; = m; : F* (x, y, 2;) 
. bildet man ein neues Massensystem und mit Hülfe desselben die 
Gleichung I — SM, - (ax; + By; + 92 — pP)"*= 0. Diese 
Fläche (n—k)ter Klasse wird die Polare von #* nach ®" genannt. 
Aus ®* und F* ist 17”-* im allgemeinen bestimmt, es kann aber ein- 
treten, dass in dem Polynom /T”*, wenn es in bezug auf die Ver- 
änderlichen «, ß, 7, p geordnet wird, alle Koeffizienten — 0 sind, so 
Sr Andeutung über „Höhere Momente im Allgemeinen“ gibt Cul- 
mann, Graph. Stat. 1. Aufl. Sn 
