Jahrg. 66. C. F. Geiser. Zur Erinnerung an Theodor Reye. 175 
reellen, b) mit imaginären Geraden], 2. imaginäre F,. Er gelangt zu 
8 Arten, von denen 3 noch je in 2 Unterabteilungen zerfallen.') 
Reye hat ein Analogon zu den Strahlenkomplexen untersucht, 
indem er von der Gesamtheit aller Kugeln im Raume ausging, die 
eine (©*) Mannigfaltigkeit bilden und durch analytische oder 
geometrische Bedingungen (©?) Mannigfaltigkeiten ausschied, die er 
„Kugelkomplexe“ nennt.?) Diese Gebilde sind wesentlich leichter zu 
behandeln als die Strahlenkomplexe [die als (© °) Mannigfaltigkeiten 
aus den ©* Geraden des Raumes erzeugt werden]. Ist in kart. Koord. 
A=a, ("+ y’+z°) — 2,2 —-29,y— 20,240, = 0 die Glei- 
chung einer Kugel A, so werden «,, @,,@,,@,, a, als homog. Koord. 
von A bezeichnet. Sei nun X =& (2?+y?-+ z?) — 28x — 2&y 
—25,z-+35,=0, so findet man, dass alle Kugeln X, welche A unter 
rechtem Winkel schneiden, in ihren homogenen Koord. die Gleichung 
u, — 2,5 20,8, —20,&, +0a,&, =0 erfüllen. Da dieselbe in 
den & linear ist, so sagt man: die X bilden einen linearen Kugel- 
komplex. Allgemeiner: Sollen sich A und X unter dem Winkel 
schneiden, so ist cos g (+ +3 — a) 2+2+8—8&$8,) 
— +. (0, &, — 2,5, — 2a,&, — 20,8, —+ a, &,)*, also bilden die Kugeln 
X, welche A unter dem gegebenen Winkel g schneiden, einen Komplex 
zweiten Grades. Für g = 90 ® erhält man den schon gefundenen Komplex 
1. Grades doppelt; für g = 0 oder 180° den Komplex 2. Grades, dessen 
Kugeln A berühren. Die Gleichung 3+3+3—338, = r& gibt 
die Kugeln vom Radius r, also für r— 0 den Komplex der Null- 
kugeln.’) Aus diesen wenigen Grundbegriffen und ihrer Weiterent- 
wicklung lässt sich eine grosse Zahl .von Sätzen über Schneiden und 
Berühren von Kugeln leicht analytisch ableiten. (Man vergl. Reyes 
Büchlein „Synth. Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme* 
sowie die Abh. „Über quadr. Kugeleomplexe*, Crelle, Bd. 99). 
Mit den Untersuchungen über Strahlenkomplexe und über Kugel- 
komplexe, die beide als (©°) Mannigfaltigkeiten auf (o0*) Mannig- 
faltigkeiten erzeugt werden, stehen in Zusammenhang die sechs Ab- 
handlungen „über lineare Mannigfaltigkeiten projektiver Grundgebilde“ 
(Crelle, Bd. 104—108) insofern im Eingang zur vierten (Bd. 107, 
ER it für die Komplexe wie für die F‘, vorausgesetzt, dass die Gleichungen 
nur reelle Koeffizienten enthalten. 
?) Eine prinzipielle Beziehung (Verwandtschaft) zwischen Strahlengeometrie 
und Kugelgeometrie hatte schon vor Reyes Arbeiten Sophus Lie gegeben. 
°») Da die Nullkugel identisch ist mit dem Kegel, der von ihrem Mittelpunkte 
aus über dem & fernen imaginären Kreise K„ des Raumes steht, so erscheint der 
Nullkugelkomplex zugleich auch als Strahlenkomplex der Geraden, welche K„ 
en. 
* 
schneid 
