Zum Normalenproblem bei den Flächen zweiten Grades. 
Von 
A. Kierer (Zürich). 
(Als Manuskript eingegangen am 9, April 1921.) 
Wenn eine zentrale Fläche zweiten Grades gegeben ist, so ziehe 
man durch einen Punkt P, der nicht auf der Fläche liegt, eine be- 
liebige Gerade g und lege durch den Mittelpunkt der Fläche die senk- 
rechte Ebene zu g. Zu dieser Ebene gehört dann in bezug auf die 
Fläche eine konjugierte Gerade g'. Beschreibt y das Strahlenbündel 
um P, so beschreibt g’ ein projektives Strahlenbündel um den Mittel- 
punkt der Fläche. Schneiden sich y und g' auf der Fläche, so ist 
der Schnittpunkt der Fusspunkt einer Normalen von P auf die Fläche, 
weil die Tangentialebene des Fusspunktes als Parallelebene zur kon- 
Jugierten Ebene von y’ auf 9 senkrecht steht. Die zwei Strahlen- 
bündel erzeugen bekanntlich eine Raumkurve dritter Ordnung (5; 
dieselbe schneidet die Fläche zweiten Grades in den Fusspunkten der 
sechs Normalen, die von dem Punkte P nach der Fläche gehen. Die 
Sätze von Steiner, zweiter Band der ges, Werke, S. 636, sind Fol- 
gerungen aus diesem Umstand. Die Kurve dritter Ordnung C, geht 
ausser durch die von Steiner angegebenen Punkte durch die vier Fuss- 
punkte der Lote von P auf den Asymptotenkegel der Fläche zweiten 
Grades; denn die senkrechte Diametralebene zu einem solchen Lot 
ist Tangentialebene der Fläche und die konjugierte Gerade der Tan- 
gentialebene geht vom Mittelpnnkt der Fläche nach dem Fusspunkt 
des Lotes auf dem Asymptotenkegel zum Berührungspunkt im Un- 
endlichen. Denkt man sich jetzt zur Raumkurve dritter Ordnung (, 
die negative Fusspunktsfläche gebildet, d.h. zieht man von P nach 
jedem Punkt der Kurve eine Gerade und legt durch den Kurvenpunkt 
die senkrechte Ebene zur Geraden, so umhüllen diese Ebenen die 
negative Fusspunktsfläche, eine developpable Fläche fünfter Klasse 
C;, welche die unendlich ferne Ebene zur dreifachen Tangentialebene 
hat; durch einen beliebigen Punkt @ gehen nämlich fünf solcher 
Ebenen, weil die Kugel über PQ als Durchmesser die Raumkurve (; 
ausser in P noch in fünf Punkten schneidet und die drei unendlich 
3) 
