Jahrg. 66. A. Kiefer. Zum Normalenproblem bei den Flächen zweiten Grades. 197 
fernen Punkte von C, liefern die unendlich ferne Ebene als dreifache 
Tangentialebene. Diese developpable Fläche fünfter Klasse C’, hat 
mit der Fläche zweiten Grades zehn Tangentialebenen gemeinsam, 
nämlich die sechs Tangentialebenen in den Fusspunkten der sechs 
Normalen und ausserdem die vier Tangentialebenen des Asymptoten- 
kegels durch die Fusspunkte der vier Lote von P auf den Kegel. 
Ersetzt man die Fläche zweiten Grades durch irgend eine andere 
mit demselben, reellen oder imaginären, Asymptotenkegel, so bleibt 
für denselben Punkt P die zur neuen Fläche gehörige Raumkurve (, 
und auch die developpable Fläche C’, unverändert. C, enthält die 
Fusspunkte aller Gruppen von sechs Normalen von P auf die Flächen 
des entstehenden Büschels und C/, enthält alle Gruppen der sechs 
Tangentialebenen in den Fusspunkten auf jeder Fläche. 
Die sechs Normalen von einem Punkte P nach einer Fläche 
zweiten Grades können noch auf eine andere Weise gefunden werden. 
Eine beliebige Gerade g durch P bestimmt die normale Stellung g* 
in der unendlich fernen Ebene und die konjugierte Gerade g’ in der Polar- 
ebene von Pin bezug auf die Fläche. Liegen g* und 9’ in einer Ebene, 
d. h. sind g undg’ windschief normal, und ist die Ebene (g*, 9’) Tangen- 
tialebene der Fläche, so ist der Berührungspunkt der Fusspunkt einer 
Normalen g von P nach der Fläche. Die beiden Geraden 9*, g’, von denen 
g* die unendlich ferne Ebene und g’ die Polarebene von P beschreibt, 
sind projektivisch auf einander bezogen; die beiden projektivischen 
Strahlenebenen erzeugen daher eine developpable Fläche dritter Klasse 
K,. Die sechs gemeinsamen Tangentialebenen dieser Fläche K, mit 
der Fläche zweiten Grades. sind die Tangentialebenen in den Fuss- 
punkten der sechs Normalen. Die Fläche X, berührt ausser diesen 
sechs Tangentialebenen die Symmetrieebenen der Fläche zweiten 
Grades, ferner die unendlich ferne Ebene und die Polarebene von P; 
die developpable Fläche X, ist die Polarfläche der früher betrach- 
teten Raumkurve C,, die durch P und die Fusspunkte der Nor- 
malen auf der Fläche zweiten Grades geht. Die Fläche K, berührt 
auch folgende vier Ebenen. Man fälle von P auf den Kegelschnitt 
der Fläche zweiten Grades, der in der Polarebene von P liegt, die 
vier Lote; dann gibt es durch jeden Fusspunkt eine Ebene, die auf 
der Geraden von P nach dem Fusspunkt senkrecht steht und das 
sind die vier Ebenen. Jedes der vier Lote ist nämlich konjugiert zu 
der auf ihm in seinem Fusspunkt senkrechten Tangente des Kegel- 
schnittes. Schneidet man irgend eine Tangentialebene der develop- 
pablen Fläche dritter Klasse X, mit den andern Tangentialebenen, 
so umhüllen die Schnittlinien bekanntlich einen Kegelschnitt. Schneidet 
