198 Vierteljahrsschrift d. Naturf. Gesellsch. in Zürich. 1921 
man also beispielsweise die Polarebene des Punktes P in bezug auf 
die Fläche zweiten Grades mit ihren sechs Tangentialebenen in den 
Fusspunkten der sechs Normalen, ferner mit den drei Symmetrie- 
ebenen der Fläche, ferner mit der unendlich fernen Ebene und mit 
den vier oben angegebenen besonderen Ebenen, so erhält man vier- 
zehn Tangenten einer Parabel. Analog für die Symmetrieebenen und 
die unendlich ferne Ebene. Man bilde jetzt die Fusspunktskurve von 
P in bezug auf die developpable Fläche X,. Diese Fusspunktskurve 
ist eine Raumkurve fünfter Ordnung K,; denn das Rotationspara- 
boloid mit P als Brennpunkt und einer beliebigen Ebene als Scheitel- 
tangentialebene hat mit X, ausser der unendlich fernen Ebene fünf 
Tangentialebenen gemeinsam, d. h. X, schneidet eine beliebige Ebene 
in fünf Punkten. Die Raumkurve fünfter Ordnung K‘, schneidet die 
Fläche zweiten Grades in zehn Punkten, nämlich in den sechs Fuss- 
punkten der Normalen von P nach der Fläche und in den vier Fuss- 
punkten der Lote von P auf den Kegelschnitt der Fläche in der 
Polarebene von P. 
Hält man den Punkt P und den Kegelschnitt fest, ändert die 
Fläche zweiten Grades, aber so, dass der Kegelschnitt Polarkegelschnitt 
von P bleibt, so ändert sich die developpable Fläche K, nicht und 
damit auch die Raumkurve K‘, nicht; denn K, ist durch die Ebene 
des Kegelschnittes, die unendlich ferne Ebene und die vier erwähnten 
besonderen Ebenen, als durch sechs Ebenen bestimmt. Die Flächen 
zweiten Grades selbst bilden ein Büschel von Flächen, die sich längs 
des Kegelschnittes berühren. Zieht man von P aus nach jeder Fläche 
des Büschels die Normalen, so liegen die-sechs Fusspunkte stets auf 
der Raumkurve fünfter Ordnung K ; und die sechs Tangentialebenen 
in den Fusspunkten gehören stets der developpablen Fläche dritter 
Klasse K, an. Dieser Fläche K, gehören auch alle Gruppen der drei 
Symmetrieebenen der Flächen des Büschels an. Die Mittelpunkte 
der Flächen liegen auf der Geraden durch P und den Mittelpunkt 
des Kegelschnittes. Zu den Flächen des Büschels gehört auch die 
Kegelfläche von P nach dem Kegelschnitt, längs dessen sich die 
Flächen des Büschels berühren. Die Symmetrieebenen dieser Kegel- 
fläche sind ebenfalls Ebenen der Fläche K,; die Kurve K', hat in P 
einen dreifachen Punkt. Ersetzt man die ursprüngliche Fläche zweiten 
Grades durch eine konfokale Fläche und legt von P den Tangential- 
kegel an die konfokale ‘Fläche, so hat er bekanntlich dieselben 
Symmetrieebenen wie der vorige Tangentenkegel; die konfokale Fläche 
hat dieselben Symmetrieebenen wie die ursprüngliche Fläche zweiten 
Grades. Durch die sechs Symmetrieebenen von Kegel und Fläche 
