Jahrg. 66. A. Kiefer. Zum Normalenproblem bei den Flächen zweiten Grades. 199 
zweiten Grades ist aber die developpable Fläche X, bestimmt, d.h. 
zu jeder der zwei konfokalen Flächen und P gehört dieselbe Fläche 
K, und also auch dieselbe Kurve K;. Hat man ein System konfo- 
kaler Flächen zweiten Grades und zieht von einem Punkte P die 
Normalen nach jeder der Flächen, so liegen die Fusspunkte auf einer 
Raumkurve fünfter Ordnung K,; auf dieser Kurve liegen auch die 
Fusspunkte der Lote von P auf die Fokalkegelschnitte der Schar, 
weil diese Kegelschnitte spezielle Flächen der Schar repräsentieren, 
ferner die Fusspunkte der Lote von P auf die Polarkegelschnitte von 
Piin bezug auf die Flächen der Schar und ebenso die Fusspunkte 
der Lote von P auf die Polarebenen von P. Die Gesamtheit dieser 
Polarebenen bildet die developpable Fläche K,, der auch alle Gruppen 
von sechs Tangentialebenen angehören, die in den sechs Fusspunkten 
der Normalen auf jede einzelne Fläche an die Fläche gelegt wer- 
den können. Durch jede Gruppe von sechs Fusspunkten ist eine 
Raumkurve dritter Ordnung bestimmt; alle diese Raumkurven haben 
fünf Punkte gemeinsam, nämlich P, den Mittelpunkt der konfokalen 
Fächen und die unendlich fernen Punkte ihrer Achsen. Denkt man 
sich den Polarkegelschnitt von P nach irgend einer der konfokalen 
Flächen genommen, so gibt es ein Büschel von Flächen zweiten 
Grades, welche die unter den konfokalen Flächen gewählte Fläche längs 
des Kegelschnittes berühren. Für alle Flächen dieses Büschels bleibt 
die Fläche K, dieselbe und ebenso die Kurve X;; denn die Sym- 
metrieebenen des Tangentenkegels und die früher erwähnten beson- 
dern Ebenen des Polarkegelschnittes bestimmen K,. Wird endlich 
irgend eine Fläche des Büschels durch irgend eine konfokale Fläche 
ersetzt, so ändern sich K, und K', wieder nicht; denn die zwei kon- 
fokalen Flächen haben dieselben Symmetrieebenen, ebenso die zwei 
zugehörigen Tangentenkegel und die sechs Ebenen bestimmen &;. 
Bemerkung. Bekanntlich gehen in einer Ebene von einem 
Punkt P nach einem Kegelschnitt vier Normalen; die vier Fusspunkte 
liegen auf einer gleichseitigen Hyperbel, die auch die Fusspunkte der 
Lote von P auf die Asymptoten des gegebenen Kegelschnittes ent- 
hält. Die vier Tangenten in den Fusspunkten der Normalen berühren 
eine Parabel, welche auch diejenigen zwei Normalen des Kegel- 
schnittes berührt, die zu den Berührungspunkten der Tangenten von 
P aus gehören. Gleichseitige Hyperbel und Parabel sind Polarkegel- 
schnitte in bezug auf den gegebenen Kegelschnitt. Die Fusspunkts- 
kurve von P für die Parabel ist eine Kurve dritter Ordnung mit 
Doppelpunkt in P, die durch die vier Fusspunkte der Normalen und 
