200 Vierteljahrsschrift d. Naturf. Gesellsch. in Zürich. 1921 
die Berührungspunkte der Tangenten von P an den gegebenen Kegel- 
schnitt und seine Brennpunkte geht. Die negative Fusspunktskurve 
der gleichseitigen Hyperbel ist eine Kurve dritter Klasse, welche die 
unendlich ferne Gerade zur Doppeltangente hat, die vier Tangenten 
in den Fusspunkten der Normalen und auch die Asymptoten des ge- 
gebenen Kegelschnittes zu Tangenten hat. Ersetzt man den Kegel- 
schnitt durch irgend einen andern mit denselben Asymptoten, .so bleibt 
die gleichseitige Hyperbel dieselbe, auf welcher die Fusspunkte der 
Normalen liegen und ebenso bleibt die Kurve dritter Klasse dieselbe, 
so dass sie also die Enveloppe aller Gruppen von vier Tangenten in 
den jeweiligen Fusspunkten der Normalen ist; die zu den Tangenten- 
gruppen gehörigen Parabeln haben die Gerade durch P und den Mittel- 
punkt des gegebenen Kegelschnittes zur Leitlinie und die gemein- 
samen Symmetrielinien der Kegelschnitte zu Tangenten. Legt man 
von dem Punkt P an den gegebenen Kegelschnitt Tangenten und 
hält sie mit den Berührungspunkten fest, während der Kegelschnitt 
sich ändert, so entsteht ein Büschel von sich doppelt berührenden 
Kegelschnitten. Zu jedem Kegelschnitt gehört dieselbe Parabel und 
dieselbe Kurve dritter Ordnung. Die Gruppen der vier Tangenten 
in den Fusspunkten der Normalen nach den Kegelschnitten des Bü- 
schels berühren alle dieselbe Parabel, die auch die Achsen aller Kegel- 
schnitte berührt, und die Gruppen der vier Fusspunkte liegen auf der 
Kurve dritter Ordnung, die auch die Brennpunkte aller Kegelschnitte 
des Büschels enthält. Die Parabel und die Kurve dritter Ordnung 
bleiben auch dieselben, wenn irgend ein Kegelschnitt des Büschels 
durch einen konfokalen ersetzt wird, ferner wenn an einen der letztern 
wiederum von P aus Tangenten gezogen werden und ein Kegelschnitt 
genommen wird, der die Tangenten in den Berührungspunkten be- 
rührt, oder wenn zu einem dieser Kegelschnitte wieder ein konfo- 
kaler genommen wird. Die Kurve dritter Ordnung kann auch auf 
andere Art erzeugt werden, z. B. durch zwei projektivische Strahlen- 
involutionen, die entstehen, wenn man von den zwei Brennpunkten 
irgend eines der aufgetretenen Kegelschnitte an die konzentrischen 
Kreise um P Tangentenpaare legt, oder indem man die Brennpunkte 
von zwei der Kegelschnitte kreuzweise verbindet und den Ort eines 
Punktes sucht, von dem aus die Verbindungslinien unter gleichen 
Winkeln erscheinen. Die Kurve hat auch mancherlei Eigenschaften. 
Legt man z. B. durch P den zum gegebenen Kegelschnitt konzen- 
trischen, ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitt, so schneidet 
er die Kurve ausser in P in vier Punkten, deren Verbindungslinien 
mit P Sehnen extremer Länge des gegebenen Kegelschnittes enthalten. 
