Erweiterungen des Abelschen Satzes für Potenzreihen 
und ihre Umkehrungen. 
Von 
A. Kırvast, Küsnacht (Zürich). 
(Als Manuskript eingegangen am 12. Juli 1922). 
(es) 
I. Es sei f (x) — Da, &* eine Potenzreihe mit dem Konvergenz- 
Be Aa 
radius 1. Dann kennt man Beziehungen zwischen 
1’ dem Grenzwert lim / (x), falls er existiert, und 
z—HL 5 
2° dem Grenzwert ‚lim 2 a, oder, falls dieser nicht existiert, 
dem HöLDERschen, re oder auf ähnliche Art!) gebildeten 
Grenzwerten. 
Das Beispiel von Herrn RıEsz*) 
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zeigt, dass die Funktion f (x) zwischen endlichen Grenzen oszillieren 
kann, wenn x sich 1 nähert, während der Mittelwert 
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im Sur 7 Er ne Zu 
Nn-—> 2 l = N 
existiert und endlich ist. 
Ich habe daher die Frage in Betracht gezogen: Kann man aus 
den Reihenkoeffizienten a, und numerischen Grössen aritlımetische 
Ausdrücke bilden, die in Beziehung stehen zu Eigenschaften der Os- 
zillationen der durch die Reihe dargestellten Funktion. 
an. 
') A.KıEnast. Extensions of Abel's theorem and its converses, Proc. Cambridge 
Phil. Soe. vol. ZIX; 1018, 
2) Vgl.G.H. Harpy, Slowly oscillating series, Proc. London Math. Soc. ser. 9, 
vol.8 (1910) p. 310. 
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 67. 1922. 14 
