Jahrg.67. A.Kırnast. Erweiterungen des ApEıschen Satzes für Potenzreihen. 217 
14) lim Pi) EI 
z—l 
; 1, 
15) lim ve; rn, 
n—>o. N 
diejenigen sind des Satzes von TAUBER ') mit Bezug auf die Reihe 13). 
Deshalb folgt aus m und R 
; 4 zur] 
im > ji — |; Mr 
11) ergibt schliesslich 
li — —— = ‚Jim a R 
N-——R = k En’ 
womit Satz 5 vollständig bewiesen ist. 
Satz 6. Von den beiden Bedingungen 
In Meet (endlich) 
z—l 
de ni = im _ 2 kd,- 
En = 
ist jede of für die Existenz von 
limis,;=il 
und zusammengenommen sind sie hinreichend. 
Beweis: Wenn lim e s, = lexistiert und endlich ist, so folgt daraus 
l 1 m 
lim = I und. BB aus der ersten der Formeln 8) lim nn = 0 
und aus 12), fürrA=1,lm Mi"! («)=1. Die Bediepüiigen sind 
daher notwendig. Be 
Wenn lim = \ — 0) existiert, so ergibt die zweite der Formeln 7) 
"a N Ft ! 
er .. Dr 
im — »® — 0, Letzterer Grenzwert zusammen mit lim Me(a)=1 
"“—2 U 
zieht nun, wegen Satz 5, Jim et — ) nach sich Sn lich ergibt 
die erste der Formeln 8) 
W.2. 6. W, 
Vgl. E. Laxvau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der 
Punktionentheoria, S.52. Der Satz gilt nicht nur bei radialer Annäherung an 1, 
sondern im ganzen Gebiet D von StoLz. 
